Cho a, b, c thõa mãn \(0\le a,b,c\le2\) và \(a+b+c=3\)
Chững minh \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge\sqrt{2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dễ nhận thấy pt này có một nghiệm là 1 nên ta sẽ tạo nhân tử là x-1
Ta có: \(2x^4+4x^3-7x^2-5x+6=0\)
<=> \(\left(2x^4-2x^3\right)+\left(6x^3-6x^2\right)-\left(x^2-x\right)-\left(6x-6\right)=0\)
<=> \(2x^3\left(x-1\right)+6x^2\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)-6\left(x-1\right)=0\)
<=> \(\left(x-1\right)\left(2x^3+6x^2-x-6\right)=0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}x=1\\2x^3+6x-x-6=0\end{cases}}\)
Bạn có thể giải pt 2x3+6x-x-6=0 bằng pp Cardano nha, cm dài lắm
Ta tách được \(2x^4+4x^3-7x^2-5x+6=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x^3+6x-x-6\right)=0\)
Vậy pt có 1 nghiệm x= 1.
Ta giải pt bậc ba theo công thức Cardano:
\(2x^3+6x^2-x-6=0\left(1\right)\Leftrightarrow x^3+3x^2-\frac{1}{2}x-3=0\)
Đặt \(x=y-1\Rightarrow y^3-\frac{7}{2}y-\frac{1}{2}=0\left(2\right)\)
\(\Delta=27\left(\frac{-1}{2}\right)^2-4\left(\frac{7}{2}\right)^3=-\frac{659}{4}< 0\)
Vậy pt (2) có 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left(-\frac{\sqrt{42}}{3};\frac{\sqrt{42}}{3}\right)\)
Đặt \(y=\frac{\sqrt{42}}{3}cost\left(t\in\left(0;\pi\right)\right)\). Thay vào pt(2) ta có: \(cos\left(3t\right)=\frac{3\sqrt{42}}{98}\)
Ta tìm được 3 nghiệm t thuộc khoảng \(\left(0;\pi\right)\), sau đó tìm cost rồi suy ra y và x.
Cô tìm một nghiệm để giúp em kiểm chứng nhé. Em có thể thay giá trị nghiệm để kiểm tra.
\(cos\left(3t\right)=\frac{3\sqrt{42}}{98}\Rightarrow t=\frac{arccos\left(\frac{3\sqrt{42}}{98}\right)}{3}\Rightarrow y=\frac{\sqrt{42}}{3}.cos\frac{arccos\left(\frac{3\sqrt{42}}{98}\right)}{3}\)
Vậy \(x=\frac{\sqrt{42}}{3}.cos\frac{arccos\left(\frac{3\sqrt{42}}{98}\right)}{3}-1\). Đó là một nghiệm, em có thể tìm 2 nghiệm còn lại bằng cách tương tự.
Đặt A = a2018+a2017+1
Do a là số nguyên dương nên ta xét các TH
Nếu a=1 thì A=a2018+a2017+1=3(là SNT) chọn
Nếu a>1 ta có
\(A=\left(a^{2018}-a^2\right)+\left(a^{2017}-a\right)+\left(a^2+a+1\right)\)
\(A=\left(a^{2016}-1\right)\left(a^2+a\right)+\left(a^2+a+1\right)\)(1)
Ta thấy: \(a^{2016}-1=\left(a^3\right)^{672}-1\)luôn chia hết cho a3-1( áp dụng tính chất an-bn chia hết cho a-b với a khác b)
Mà a>1 => a3-1 #0 và a3-1=(a-1)(a2+a+1)
Vì vậy a2016-1 chia hết cho a2+a+1(2)
Từ (1) và (2) => A chia hết cho (a2+a+1)
Mà a>1 => \(\hept{\begin{cases}A>a^2+a+1\\a^2+a+1#1\end{cases}}\)
=> A là hợp số
Vậy a=1 thì A là số nguyên tố
Điều kiện xác định: \(x,y\ge1.\)
PT\(\Leftrightarrow2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}-3xy=0\)
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{y-1}-xy+4y\sqrt{x-1}-2xy\)
\(\Leftrightarrow x\left(2\sqrt{y-1}-y\right)+2y\left(2\sqrt{x-1}-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-x\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)-2y\left(x-1-2\sqrt{x-1}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-x\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2-2y\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=0\)
Do \(x,y\ge1\)nên \(-x\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2\le0,-2y
\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2\le0\)
Vậy: \(-x\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2-2y\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=0\)
Khi : \(\hept{\begin{cases}-x\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=0\\-y\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}.}}\)
Điều kiện xác định : \(\hept{\begin{cases}x\ge\frac{1}{2}\\y\ge1\\z\ge\frac{3}{4}\end{cases}}\)
Ta có : \(\sqrt{2x-1}+2\sqrt{2y-2}+3\sqrt{4z-3}=x+y+2z+4\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{2x-1}+4\sqrt{2y-2}+6\sqrt{4z-3}=2x+2y+4z+8\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1-2\sqrt{2x-1}+1\right)+\left(2y-2-4\sqrt{2y-2}+4\right)+\left(4z-3+6\sqrt{4z-3}+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{2y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{4z-3}-3\right)^2=0\)
Mà ta luôn có \(\left(\sqrt{2x-1}-1\right)^2\ge0\), \(\left(\sqrt{2y-2}-2\right)^2\ge0\), \(\left(\sqrt{4z-3}-3\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{2x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{2y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{4z-3}-3\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2x-1}-1=0\\\sqrt{2y-2}-2=0\\\sqrt{4z-3}-3=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\\z=3\end{cases}}\) (TMDK)
Vậy (x;y;z) = (1;3;3)
a, Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta sẽ chứng minh được AM vuông góc với OC, MD vuông góc BD.
Mà \(\widehat{AMB}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Vậy tứ giác OEMF là hình chữ nhật suy ra \(\widehat{COD}=90^O.\)
Trong tam giác vuông OCD, ta áp dụng hệ thức lượng suy ra: \(OM^2=CM.MD\Leftrightarrow R^2=CM.MD\).
Théo tính chât của tiếp tuyến bằng nhau ta có: CM = AC; MD = BD.
Vậy \(AC.BD=R^2.\)
b, Đặt CM = a. R; MD = b.R. Do \(R^2=MC.MD\Rightarrow a.b=1.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông : \(OC^2=CM.CD\Leftrightarrow OC^2=a.R.\left(a.R+b.R\right)\Leftrightarrow OC=R.\sqrt{a\left(a+b\right)}\)
Tương tự \(OD=R.\sqrt{b\left(a+b\right)}.\)
Vậy chu vi tam giác OCD bằng :
\(a.R+b.R+R.\sqrt{a\left(a+b\right)}+R.\sqrt{b\left(a+b\right)}\)
\(=R\left(a+b+\sqrt{a\left(a+b\right)}+\sqrt{b\left(a+b\right)}\right)\)ậy
Suy ra chu vi tam giác OCD min khi : \(a+b+\sqrt{a\left(a+b\right)}+\sqrt{b\left(a+b\right)}\)min.
Có: \(a+b+\sqrt{a\left(a+b\right)}+\sqrt{b\left(a+b\right)}=\sqrt{a+b}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\sqrt{a+b}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a+b+2}\right)\)
Do a.b = 1 nên a + b min khi a = b = 1 ( áp dụng BĐT cô - si).
Vây MIN \(\sqrt{a+b}\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a+b+2}\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+2\right)=2.\left(\sqrt{2}+1\right)\).
Vậy chu vi tam giác OCD min khi M là trung điểm của CD hay M là trung điểm của cung AB>
\(P_{min}\Delta OCD=2\left(\sqrt{2}+1\right).R\).
qua dễ, lân sau nho hoi nhung bai toan hoc bua ban nhe.
a.Gọi M' là giao điểm của CM với đường tròn. Do C thuộc AO nên ta thấy ngay cung MB \(\ge\) cung AM'.
Lại có \(\widehat{CMB}=\frac{sđ\left(BM'\right)}{2}=\frac{180^o-sđ\left(AM'\right)}{2}\); \(\widehat{MBC}=\frac{sđ\left(AM\right)}{2}=\frac{180^o-sđ\left(BM\right)}{2}\)
Vậy nê \(\widehat{CMB}\ge\widehat{MBC}\Rightarrow BC\ge CM.\)
b. Ta thấy tam giác CMN vuông tại C, K là trung điểm MN nên theo định lý về đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, ta có: CK = NK = KM.
Lại có do K là trung điểm MN nên \(OK\perp MN.\)
Vậy thì \(CK^2+OK^2=NK^2+OK^2=ON^2=\left(\frac{AB}{2}\right)^2=\frac{AB^2}{4}\) không đổi (đpcm).