cho p là số nguyên tố lẻ. \(Q\left(x\right)=\left(p-1\right)x^p-x-1\). Chứng minh rằng tồn tại vô số a nguyên dương sao cho Q(a) chia hết cho \(p^p\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}\)\(\approx8,382332347\)\(>6\)
Ta có:\(\sqrt{2}>1;\sqrt{3}>1;\sqrt{4}>1;\sqrt{5}>2\)
=>\(1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5}>1+1+1+1+2=6\)
=>đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{2-x}=a\\\sqrt[3]{x+7}=b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2-ab=3\\a^3+b^3=9\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2-ab=3\\\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=9\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2-ab=3\\a+b=3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-6\end{cases}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
+) Chứng minh: \(\Delta\)ABC đều => BD=DE=EC ?
Ta thấy đường tròn (O) có các cung \(\widebat{BM}=\widebat{MN}=\widebat{NC}\) => ^BOM = ^MON = ^NOC
Mà ^BOM + ^MON + ^NOC = 1800 => ^BOM = ^MON = ^NOC = 600
=> Các tam giác: \(\Delta\)BOM; \(\Delta\)MON; \(\Delta\)NOC đều
=> BM = OB = 1/2.BC. Mà \(\Delta\)ABC đều nên BM = 1/2.AC hay \(\frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}\)
Do \(\Delta\)BOM đều nên ^OBM = 600 hay ^MBC = 600 => ^MBC = ^ACB = 600 (Do \(\Delta\)ABC đều)
=> BM // AC (2 góc so le trong bằng nhau)
Theo hệ quả ĐL Thales: \(\frac{BM}{AC}=\frac{BD}{CD}\). Mà \(\frac{BM}{AC}=\frac{1}{2}\)(cmt)
=> \(\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}\)=> BD=1/3.BC . Tương tự: CE=1/3.BC
Từ đó: BD=CE=DE (=1/3.BC) (đpcm).
+) Chứng minh BD=DE=EC => \(\Delta\)ABC đều ?
Dễ thấy tứ giác BMNC là hình thang (cân) => MN // BC hay MN // DE
Ap dụng hệ quả ĐL Thales: \(\frac{DE}{MN}=\frac{AE}{AN}\)(1).
Ta có: BD=DE=EC=1/3.BC => \(\frac{DE}{BC}=\frac{1}{3}\)=> \(\frac{DE}{\frac{1}{2}BC}=\frac{2}{3}\)\(\Rightarrow\frac{DE}{OB}=\frac{2}{3}\)
Lại có: OB = MN (Do 2 tam giác BOM và MON đều) => \(\frac{DE}{MN}=\frac{2}{3}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{AE}{AN}=\frac{2}{3}\)
Mặt khác \(\frac{BE}{BC}=\frac{2}{3}\)\(\Rightarrow\frac{AE}{AN}=\frac{BE}{BC}\)=> CN // AB (ĐL Thales đảo)
=> ^BCN = ^ABC (2 góc so le trg).
Mà ^BCN (=^OCN) = 600 (Do \(\Delta\)NOC đều) => ^ABC = 600.
Lập luận tương tự, ta cũng có: ^ACB = 600. Do đó \(\Delta\)ABC đều (đpcm).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a+b+c}=\frac{16}{4}=4\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)