Ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Áp dụng bđt Cauchy , ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

Tương tự : \(\frac{ac}{\sqrt{3b+ac}}=\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ac}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\); \(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow P=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}}\)

             \(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)

 \(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

Suy ra : Max P \(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

đây nhé Câu hỏi của Steffy Han - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

Giả sử hai đường trung tuyến CM và BN vuông góc với nhau tại O.

Đặt OM = y , ON = x (x,y > 0) , suy ra OB = 2x , OC = 2y

Ta có : \(AB^2=\left(2BM\right)^2=4BM^2=4\left(4x^2+y^2\right)\)

\(AC^2=\left(2CN\right)^2=4CN^2=4\left(4y^2+x^2\right)\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=4\left(4x^2+y^2\right)+4\left(4y^2+x^2\right)\)

\(=4\left(5x^2+5y^2\right)=5\left(4x^2+4y^2\right)=5\left[\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2\right]\)

\(=5\left(OB^2+OC^2\right)=BC^2\)

\(\Rightarrow AB^2+AC^2=5BC^2\)

Gọi OA là tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}.\)Ta có: \(\widehat{CAO}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}.\)
Xet tam giác CAO và tam giác CBA:
Có: \(\widehat{C}\)là góc chung.
\(\widehat{CAO}=\widehat{CBA}.\)
Vậy tam giác CAO đồng dạng với tam giác CBA.
Ta có: \(\frac{CA}{CB}=\frac{CO}{CA}\Rightarrow CA^2=CB.CO\Leftrightarrow CO=\frac{CA^2}{CB}=\frac{8^2}{12}=\frac{16}{3}.\)
Vậy \(BO=12-\frac{16}{3}=\frac{20}{3}.\)
Mặt khác AO là tia phân giác của góc A nên:

\(\frac{OC}{OB}=\frac{AC}{AB}=\frac{16}{3}:\frac{20}{3}=\frac{4}{5}.\)
Vậy: \(AB=AC:\frac{4}{5}=12:\frac{4}{5}=15.\)

AB= 15 

Bài 1:

Ta có : \(\left(x^2-1\right)\left(x^2-4\right)\left(x^2-7\right)\left(x^2-10\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x^2-1\right)\left(x^2-10\right)\right].\left[\left(x^2-4\right)\left(x^2-7\right)\right]< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-11x^2+10\right)\left(x^4-11x^2+28\right)< 0\)

Đặt \(y=x^4-11x^2+19\), ta có : \(\left(y-9\right)\left(y+9\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow y^2< 81\Leftrightarrow-9< y< 9\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y>-9\left(1\right)\\y< 9\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (1) được : \(x^4-11x^2+28>0\) \(\Leftrightarrow\left(x^2-7\right)\left(x^2-4\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2>7\\x^2< 4\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x>\sqrt{7}\\x< -\sqrt{7}\end{cases}}\)hoặc  \(-2< x< 2\)

Giải (2) được : 

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2< 1\\x^2>10\end{cases}}\)(loại)  hoặc \(1< x^2< 10\)(nhận)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2>1\\x^2< 10\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x< -1\\x>1\end{cases}}\)và \(-\sqrt{10}< x< \sqrt{10}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}-\sqrt{10}< x< -1\\1< x< \sqrt{10}\end{cases}}\)

Kết hợp (1) và (2) : \(-2< x< -1\);;\(1< x< 2\); \(\sqrt{7}< x< \sqrt{10}\); \(-\sqrt{10}< x< -\sqrt{7}\)

Suy ra các giá trị nguyên của x là : \(x\in\left\{-3;3\right\}\)

Bài 1: 

Có: \(x^2-10< x^2-7< x^2-4< x^2-1\)

Để tích trên < 0

: \(\left(x^2-1\right);\left(x^2-4\right);\left(x^2-7\right)\)cùng dương và \(\left(x^2-10\right)\)âm

\(\Rightarrow x^2-10< 0\)và\(x^2-7>0\)

\(\Rightarrow x^2< 10\)và \(x^2>7\)

\(\Rightarrow7< x^2< 10\)

\(\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=+;-3\)

dat \(x^2-2x+2=y\)

ta co pt

\(y^4+20x^2y^2+64x^4\)

\(=\left(8x^2\right)^2+2.8x^2.\frac{10}{8}y^2+\left(\frac{10^{ }}{8^{ }}y^2\right)^2-\frac{36}{64}y^4\)

\(=\left(8x^2+\frac{10}{8}y^2\right)^2-\left(\frac{6}{8}y^2\right)^2\)

\(=\left(8x^2+\frac{y^2}{2}\right)\left(8x^2+2y^2\right)\)

bạn thay y  nữa là xong

\(\left(x^2-2x+2\right)^4+20x^2\left(x^2-2x+2\right)^2+64x^4\)

\(=\left(x^2-2x+2\right)^4+20x^2\left(x^2-2x+2\right)^2+100x^4-36x^4\)

\(=\left[\left(x^2-2x+2\right)^2+10x^2\right]^2-36x^4\)

\(=\left(x^4-4x^3+18x^2-8x+4\right)^2-\left(6x^2\right)^2\)

\(=\left(x^4-4x^3+24x^2-8x+4\right)\left(x^4-4x^3+12x^2-8x+4\right)\)

A=\(\frac{1}{1.2}\)+\(\frac{1}{3.4}\)+...+\(\frac{1}{2017.2018}\)

A=1-\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{1}{3}\)+...+\(\frac{1}{2017}\)-\(\frac{1}{2018}\)

A=1-\(\frac{1}{2018}\)

A=\(\frac{2017}{2018}\)

\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{2017.2018}\)

\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}\)

\(A=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2017}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2018}\right)\)

\(A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2018}\right)\)

\(A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1009}\right)\)

\(A=\frac{1}{1010}+\frac{1}{1011}+...+\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}\)

Đến đây bình thường ta nhóm 2 số vào với nhau nhưng ở đây có lẻ số hạng nên không nhóm được => đề sai

đường phân giác của \(\widehat{xOy}\)

ta có:

ƯCLN_(2013;2014) là 1

vì ƯCLN_(2013;2014) là 1 nên để con kiến đi hết tất cả các ô vuông mà mỗi ô chỉ đi qua đường chéo một lần thì con kiến phải đi hết đường chéo của mỗi ô vuông có cạnh 1cm trong 1 hàng ô vuông kề nhau có dạng hình chữ nhật( vì con kiến xuất phát từ A nên nếu con kiến đi theo đường chéo hướng về phía B thì hình chữ nhật có chiều rộng 1cm đó sẽ có chiều   dài là 2013 )

nếu con kiến đi hết số đường chéo của mỗi ô vuông trong hình chữ nhật có chiều rộng 1cm và chiều dài 2013 cm đã nêu ở đề bài thì con kiến phải đi theo hình ziczac nối tiếp

con kiến xuất phát từ A nên trong ô thứ nhất đường chéo mà con kiến đi có dạng "/" tiếp đến ô thứ 2 thì con kiến đi theo đường chéo có dạng :"\"

cứ tiếp tục như vậy đến ô cuối cùng con kiến sẽ ở ô thứ 2013 và đi trên đường cheo có dạng như ô thứ nhất( từ A đến B) ( vì ở đây có 2 dạng đường chéo và có 2 loại ô số là ô số chẵn và ô số lẻ  mà ô thứ nhất có đường chéo dang "/" => ô thứ 2013 có dạng đường chéo mà con kiến đi qua cũng là "/"

vì đường chéo ở ô 2013(chiều từ A đến C) ở hàng thứ 1(chiều tứ A đếnD) có dạng "/" mà trong ô vuông 

đó thì đường chéo mà con kiến đi qua không đi qua điểm C nên con kiến ko đi qua điểm C 

ta có đường chéo ở ô thứ nhất ( từ C về A) ở hàng thứ 2( từ A đến D) có dạng :"\"

tương tự như hàng thứ nhất ( từ A đến D) ở cách chứng minh trên thì ở hàng thứ 2( từ A về D) cũng có đường chéo ở ô thứ 1 giống đường chéo ở ô thứ 2013  và  là:"\"

ở chiều  dọc (tức chiều từ A đến D) có 2014 ô  nên cácx đường chéo ở ô thứ 2 giống các đường chéo ở ô thứ 2014 và có dạng( từ D đến C):   \/\/\/\/..../\/\

vì ở đường chéo đầu ở ô thứ 2( chiều từ A đến D) và ở ô thứ nhất ( chiều từ A đến C) có dạng "\" nên => trong hàng thứ 2014 ( chiều từ A đến D) ô thứ 1 thì đường đi của con kiến trong ô vuông có dạng "\" mà điểm D nằm ở đỉnh phía trên cùng bên trái của ô vuông  nên => con kiến đi qua điểm D

vì ở ô thứ 2013(chiêu từ D đến C) ở hàng thứ 2014 (chiều từ A đến D) có đường chéo có dạng giống như đường chéo ở ô thứ 1 là"\" mà điểm C nằm ở đỉnh trên  cùng phía bên phải  mà đường chéo con kiến đi qua có dạng "\" 2 đầu đường chéo lân lượt nằm ở dỉnh dưới cùng phía bên phải và đỉnh trên cùng phía bên trái => đường chéo mà con kiến đi qua không đi qua điểm C

 vậysau khi đi qua tất cả các ô vuông mà mỗi ô đi qua 1 đường chéo thì trong 3 điểm B;C;D thì con kiến đi qua điểm D

giải phương trình

a,(11⋅2+12⋅3+13⋅4+19⋅1011⋅2+12⋅3+13⋅4+19⋅10)(x-1)+110x110x=x−910x−910

b,x+11+2x+33+3x+55+20x+3939=22+43+65+4039x+11+2x+33+3x+55+20x+3939=22+43+65+4039

c,(x-10)+(x-19)+(x-18)+...+100+101=101

d,(11⋅51+12⋅52+13⋅53+...+110⋅6011⋅51+12⋅52+13⋅53+...+110⋅60)x=11⋅11+11⋅12+11⋅13

hình như sai đề phải bn ???????????

Ko sai đâu bạn đề thi HSG Toán Tỉnh Lâm Đồng đó!