Cho phương trình ẩn x: \(x^2-2x+m=0\)
Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2. Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N= \(x_1^4+x_2^4-2x_1^3-2x_2^3+8m\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
a) Có: \(P=\left(\frac{\sqrt{x}}{x^2-1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right).\frac{x^2-1}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x^3}-\sqrt{x}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{x}}{x^2-1}+\frac{x+\sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\right).\frac{x^2-1}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x^3}-\sqrt{x}\)
\(=\left(\frac{\sqrt{x}}{x^2-1}+\frac{2x}{x-1}\right).\frac{x^2-1}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x^3}-\sqrt{x}\)
\(=1+\frac{2x(x+1)}{\sqrt{x}}-2\sqrt{x^3}-\sqrt{x}\)
\(=1+\sqrt{x}\)
Khi \(x=9\Rightarrow P=1+\sqrt{9}=4\)
b) \(2P-Q=0\Leftrightarrow 2(1+\sqrt{x})-(x-1)=0\)
\(\Leftrightarrow -x+2\sqrt{x}+3=0\)
\(\Leftrightarrow (3-\sqrt{x})(\sqrt{x}+1)=0\)
\(\Leftrightarrow 3-\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=9\)
c) Phần c là tìm GTNN của \(\frac{P}{Q}\) hả em?
\(\frac{P}{Q}=\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
Với \(x>0\) càng tiến gần tới 1 theo chiều từ trái sang phải thì \(\sqrt{x}-1\) càng nhận giá trị âm càng lớn. Do đó \(\frac{1}{\sqrt{x}-1}\) càng nhận giá trị âm càng nhỏ
Do đó P/Q không có GTNN
∆ABC: BC=√2, ^A=90°
O(tam (O) noi tiep
S=S∆abc=S∆boc+S∆boa+S∆aoc
s1=S∆boc=1/2.r.BC=√2/2
S2=S∆boa+S∆aoc=1/2.r.(AB+AC)
4S2^2=(AB+AC)^2=AB^2+AC^2+2AB.AC=BC^2+2S
=2+2S,
S=2S2^2 -1
S=s1+s2=√2/2+s2
2s2^2 -s2-1-√2/2
1+8+4√2=9+4√2=(2√2+1)^2
s2=(1+2√2+1)/4=(1+√2)/2
S=(√2+1+√2)/2=√2+0,5
Lời giải:
Gọi độ dài hai cạnh tam giác vuông là $a,b$ thì cạnh huyền là:
\(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}\) \(\Rightarrow a^2+b^2=2\)
Ta có công thức sau:
\(S_{ABC}=pr\) (p là nửa chu vi)
\(\Leftrightarrow \frac{ab}{2}=\frac{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}{2}.1\)
\(\Leftrightarrow ab=a+b+\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow ab-\sqrt{2}=a+b\)
\(\Rightarrow (ab-\sqrt{2})^2=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+2-2\sqrt{2}ab=2+2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2-(2\sqrt{2}+2)ab=0\)
Vì $ab\neq 0$ nên \(ab=2\sqrt{2}+2\Rightarrow S_{ABC}=\frac{ab}{2}=\sqrt{2}+1\)
B=1; B-1=0
B-1=[√x/(√x-1)-2]+[2√x-1)/(√x+1)-1]+[6/(1-x)+2]
=(-√x+2)/(√x-1)+(√x-2)+(-2(x-4))/(1-x)
=(-√x+2)[1/(√x-1)-2/(√x+1)+2(√x+2)/(1-x)]
x>0=>[....].≠0
-√x+2=0
x=4.
Lời giải:
Ta có:
\(x^2+1-2x=(x-1)^2\geq 0\Rightarrow 2x\leq x^2+1(1)\)
\(x^2+y^2=1\Rightarrow y^2=1-x^2\leq 1\Rightarrow -1\leq y\leq 1\)
Do đó \(y^3-y^2=y^2(y-1)\leq 0\Rightarrow y^3\leq y^2(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow P=2x+y^3\leq x^2+1+y^2=2\)
Vậy \(P_{\max}=2\). Dấu bằng xảy ra khi \((x,y)=(1,0)\)
Lời giải:
Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $a,b$
Khi đó, đặt \(\left\{\begin{matrix} a=dx\\ b=dy\end{matrix}\right.(x,y)=1\)
Ta có: \(ab(a+b)\vdots a^2+ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow dxdy(dx+dy)\vdots (dx)^2+dxdy+(dy)^2\)
\(\Leftrightarrow dxy(x+y)\vdots x^2+xy+y^2\)
Do $x,y$ nguyên tố cùng nhau nên :
\((x,x^2+xy+y^2)= (y,x^2+xy+y^2)=(x+y,x^2+xy+y^2)=1\)
Suy ra \(d\vdots x^2+xy+y^2\)
\(\Rightarrow d\geq x^2+xy+y^2\)
\(\Rightarrow d^3\geq a^2+ab+b^2\)
Mà với $a,b$ nguyên dương phân biệt thì \(a^2+ab+b^2\geq 3ab>ab\)
Do đó \(d^3>ab(1)\)
Mặt khác: $a,b$ nguyên dương phân biệt kéo theo $x,y$ nguyên dương phân biệt nên \(|x-y|\geq 1\)
\(\Rightarrow |a-b|=d|x-y|\geq d(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow |a-b|^3>ab\Rightarrow |a-b|>\sqrt[3]{ab}\)
Ta có đpcm.
Lời giải:
Vì \(a,b,c\in [-2;5]\) nên:
\(\left\{\begin{matrix} (a+2)(a-5)\leq 0\\ (b+2)(b-5)\leq 0\\ (c+2)(c-5)\leq 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 3a+10\\ b^2\leq 3b+10\\ c^2\leq 3c+10\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2\leq 3a+10\\ 2b^2\leq 6b+20\\ 3c^2\leq 9c+30\end{matrix}\right. \)
Do đó:
\(a^2+2b^2+3c^2\leq 3(a+2b+3c)+60\)
Mà \(a+2b+3c\leq 2\)
\(\Rightarrow a^2+2b^2+3c^2\leq 3.2+60=66\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-2,5,-2)\)
x,y€0;1]
(x-1)(y-1)≥0
xy-(x+y)+1≥0
3xy-3(x+y)+3≥0:; -2(x+y)+3≥0
(x+y)≤3/2
x+y=3xy=>9(xy)^2-4(xy)≥0=> xy≥4/9
=>(x+y)€[4/3;3/2]
P=x^2+y^2-4xy=(x+y)^2-6xy=(x+y)^2-2(x+y)=[(x+y-1]^2-1
Pmin=(4/3-1)^2-1=1/9-1=-8/9
khi x+y=4 /3; xy=4/9
x=y=2/3
Pmax=(3/2-1)^2-1=1/4-1=-3/4
khi x or y =1
(x,y)=(1,1/2);(1/2;1)
\(P=x^2+y^2-4xy\)
\(P=\left(x+y\right)^2-2xy-4xy\)
\(P=\left(3xy\right)^2-6xy\)
\(P=\left(3xy\right)^2-2.3xy.1+1-1\)
\(P=\left(3xy-1\right)^2-1\ge-1\)
dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow3xy-1=0\Leftrightarrow xy=\dfrac{1}{3}\)
vậy MIN \(P=-1\Leftrightarrow xy=\dfrac{1}{3}\)
Thôi làm luôn nãy h chém nhiều mỏi tay quá. Bổ sung điều kiện a;b;c>1
\(\dfrac{4a^2}{a-1}+\dfrac{5b^2}{b-1}+\dfrac{3c^2}{c-1}\ge48\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{4a^2}{a-1}-16\right)+\left(\dfrac{5b^2}{b-1}-20\right)+\left(\dfrac{3c^2}{c-1}-12\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{4a^2-16a+16}{a-1}+\dfrac{5b^2-20b+20}{b-1}+\dfrac{3c^2-12c+12}{c-1}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{4\left(a-2\right)^2}{a-1}+\dfrac{5\left(b-2\right)^2}{b-1}+\dfrac{3\left(c-2\right)^2}{c-1}\ge0\) (đúng)
Dấu "=" khi \(a=b=c=2\)
Lời giải:
Đặc điểm đặc biệt của một số lập phương là chia $7$ dư $0,1$ hoặc $6$ nên ta sẽ sử dụng mod 7 trong bài này.
Ta thấy: \(2^n=x^3+3367\equiv x^3\pmod 7\)
Mà \(x^3\equiv 0,1,6\pmod 7\Rightarrow 2^n\equiv 0,1,6\pmod 7\)
Ta thấy \(2^3\equiv 1\pmod 7\) nên xét các TH sau:
+) Nếu \(n=3k\Rightarrow 2^n=2^{3k}\equiv 1\pmod 7\)
+) Nếu \(n=3k+1\Rightarrow 2^n=2^{3k+1}=2^{3k}.2\equiv 2\pmod 7\)
+) Nếu \(n=3k+2\Rightarrow 2^n=2^{3k+2}=2^{3k}.4\equiv 4\pmod 7\)
Từ các TH trên suy ra \(n=3k\) là th duy nhất có thể xảy ra.
Khi đó:
\(x^3+3367=2^{3k}=(2^k)^3\)
\(\Leftrightarrow 3367=(2^k)^3-x^3\)
\(\Leftrightarrow 3367=(2^k-x)(2^{2k}+x.2^k+x^2)\)
Đây là dạng pt tích đơn giản . Thử các TH ta suy ra \(x=9, k=4\rightarrow n=12\)
Vậy \((x,n)=(9,12)\)
PT đã cho suy ra x3≡2n(mod7) (1)
Nếu n không chia hết cho 3 thì 2n khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 2,4,7 trong khi đó x3 khi chia cho 7 chỉ có thể cho số dư là 0,1,6 . Trái với (1)
Vậy n=3m với m là số nguyên dương . Thay vào PT đã cho
x3+3367=23m⇔(2m−x)[(2m−x)2+3x.2m]=3367 (2)
Từ (2) suy ra 2m−x là ước của 3367
Mà (2m−x)3<23m−x3=3367
Nên 2m−x∈1;7;13
Đến đây xét 3 TH là OK
Nghiệm là (x;n)=(9;12)
Lời giải:
Để pt có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì:
\(\Delta'=1-m>0\Leftrightarrow m< 1\)
Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2 ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
Khi đó:
\(N=x_1^4+x_2^4-2(x_1^3+x_2^3)+8m\)
\(=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2-2[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)]+8m\)
\(=[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2-2(x_1x_2)^2-2[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)]+8m\)
\(=(4-2m)^2-2m^2-2(8-6m)+8m\)
\(=2m^2+4m=2(m^2+2m+1)-2=(m+1)^2-2\geq -2\) với mọi $m< 1$
Do đó \(N_{\min}=-2\) khi \(m=-1\)
ta có : \(2\left(m^2+2m+1\right)-2=2\left(m+1\right)^2-2\) chứ không phải bằng \(\left(m+1\right)^2-2\)