Ta có : I là tâm đường tròng nội tiếp \(\Delta ABD\)

=> BI là tia phân giác của \(\widehat{ABD}\) 

\(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{IBD}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABD}\)   ( 1 )

Tương tự với J là đường tròn nộ tiếp \(\Delta BDC\)

\(\Rightarrow\widehat{DBJ}=\widehat{JBC}=\dfrac{1}{2}\widehat{BDC}\)  ( 2 ) 

Mà \(\widehat{ABD}=\widehat{BDC}\) ( do AB // CD )  ( 3 ) 

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) \(\Rightarrow\widehat{IBD}=\widehat{BDJ}\)

=> BIDJ là hình bình hành 

=> IJ và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

=> P là trung điểm của IJ và BD

+) Vì P là trung điểm của BD 

\(\Rightarrow BP=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{\sqrt{8^2+6^2}}{2}=5\)

+) Xét \(\Delta BMI\) và \(\Delta BPI\) ta có : 

BP = BM = 5 

BI : cạnh chung 

\(\widehat{MBI}=\widehat{PBI}\) ( vì BI là tia phân giác của góc MBD )

\(\Rightarrow\Delta BMI=\Delta BPI\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow MI=PI=\sqrt{5}\)

+) P là trung điểm của IJ \(\Rightarrow\text{IJ}=2\sqrt{5}\)