Bài toán 124
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chuyển chữ số cuối cùng của số đó lên đầu tiên, ta được số mới lớn hơn và chia hết cho số đã cho. (Chữ số đầu của các số luôn khác 0).
------------------------------------------------
Các bạn trình bày lời giải đầy đủ vào ô Gửi bình luận phía dưới. Năm bạn có lời giải hay và sớm nhất sẽ được cộng/thưởng 1 tháng VIP của Online Math. Đáp án và giải thưởng sẽ được công bố vào Thứ Sáu ngày 20/10/2016. Câu đố tiếp theo sẽ lên mạng vào tối Thứ Sáu ngày 20/10/2016.
Chú ý: Bắt đầu từ tuần sau, bài toán mới sẽ lên mạng vào các chiều thứ Sáu.
--------
Cập nhật ngày 21/10/2016: Đến ngày trao giải nhưng chưa có bạn nào có lời giải chặt chẽ và đầy đủ. Online Math sẽ kéo dài thêm 1 tuần để nhận thêm lời giải của các bạn và trao giải sau. Bạn nào có đáp án đúng và sớm nhất sẽ được thưởng 2 tháng VIP của Online Math.
-------
Chúc mừng bạn ngonhuminh đã có lời giải cho bài toán này. Bạn ngonhuminh đã được cộng 2 tháng VIP của Online Math.
Sau đây là lời giải của bài toán:
Giả sử số cần tìm là \(x=\overline{a_1a_2...a_n}\) , \(\left(a_1\ne0\right)\). Khi đó nếu chuyển chữ số cuối cùng lên đầu tiên thì ta được số \(y=\overline{a_na_1a_2...a_{n-1}}\). Khi đó y = kx, k nguyên. Theo giả thiết thì y lớn hơn x nên \(a_1\ge1.\) Lại có y chia hết cho x nên \(a_1>1\).
Gọi \(m=0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_n...;n=0,a_na_1a_2...a_{n-1}a_na_1...\) là các số thập phân vô hạn tuần hoàn tương ứng tạo bởi x và y.
Ta thấy \(0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_n=\frac{x}{10^n}\Rightarrow m=\frac{x}{10^n-1}\), tương tự \(n=\frac{y}{10^n-1}=\frac{kx}{10^n-1}\). Vậy n = km.
Chúng ta lại có \(n=\frac{a_n}{10}+\frac{m}{10}\Rightarrow10n=a_n+m\Rightarrow10km=a_n+m\Rightarrow m=\frac{a_n}{10k-1}\)
Ta thấy \(10m=\frac{10a_n}{10k-1}=a_1,a_2a_3...>1\Rightarrow a_n\ge k\)
x nhỏ nhất khi m nhỏ nhất. Với mỗi k cố định, m nhỏ nhất khi \(a_n=k.\)
Vậy ta thử các giá trị của k (Từ 0 tới 9) và thấy m có giá trị nhỏ nhất khi k = 4. Khi đó \(m=0,\left(102564\right)\Rightarrow x=102564.\)
Vậy số cần tìm là 102564.
