--------
Cập nhật ngày 21/10/2016: Đến ngày trao giải nhưng chưa có bạn nào có lời giải chặt chẽ và đầy đủ. Online Math sẽ kéo dài thêm 1 tuần để nhận thêm lời giải của các bạn và trao giải sau. Bạn nào có đáp án đúng và sớm nhất sẽ được thưởng 2 tháng VIP của Online Math.
-------
Chúc mừng bạn ngonhuminh đã có lời giải cho bài toán này. Bạn ngonhuminh đã được cộng 2 tháng VIP của Online Math.
Sau đây là lời giải của bài toán:
Giả sử số cần tìm là \(x=\overline{a_1a_2...a_n}\) , \(\left(a_1\ne0\right)\). Khi đó nếu chuyển chữ số cuối cùng lên đầu tiên thì ta được số \(y=\overline{a_na_1a_2...a_{n-1}}\). Khi đó y = kx, k nguyên. Theo giả thiết thì y lớn hơn x nên \(a_1\ge1.\) Lại có y chia hết cho x nên \(a_1>1\).
Gọi \(m=0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_n...;n=0,a_na_1a_2...a_{n-1}a_na_1...\) là các số thập phân vô hạn tuần hoàn tương ứng tạo bởi x và y.
Ta thấy \(0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_n=\frac{x}{10^n}\Rightarrow m=\frac{x}{10^n-1}\), tương tự \(n=\frac{y}{10^n-1}=\frac{kx}{10^n-1}\). Vậy n = km.
Chúng ta lại có \(n=\frac{a_n}{10}+\frac{m}{10}\Rightarrow10n=a_n+m\Rightarrow10km=a_n+m\Rightarrow m=\frac{a_n}{10k-1}\)
Ta thấy \(10m=\frac{10a_n}{10k-1}=a_1,a_2a_3...>1\Rightarrow a_n\ge k\)
x nhỏ nhất khi m nhỏ nhất. Với mỗi k cố định, m nhỏ nhất khi \(a_n=k.\)
Vậy ta thử các giá trị của k (Từ 0 tới 9) và thấy m có giá trị nhỏ nhất khi k = 4. Khi đó \(m=0,\left(102564\right)\Rightarrow x=102564.\)
Vậy số cần tìm là 102564.
