\(\left(x^2+4\right)\left(9x^2-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+4=0\\9x^2-1=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+4>0\\x^2=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{3}\)

\(\left(1+\dfrac{3}{4}\right)\left(1+\dfrac{3}{7}\right)\left(1+\dfrac{3}{10}\right)\left(1+\dfrac{3}{13}\right)\left(1+\dfrac{3}{16}\right)\\ =\dfrac{7}{4}.\dfrac{10}{7}.\dfrac{13}{10}.\dfrac{16}{13}.\dfrac{19}{16}\\ =\dfrac{19}{4}\)

Ta có:

\(\dfrac{\sqrt{21}+\sqrt{7}}{1+\sqrt{3}}-\dfrac{3}{\sqrt{7}-2}\\ =\dfrac{\sqrt{7}\left(\sqrt{3}+1\right)}{1+\sqrt{3}}-\dfrac{\sqrt{7^2}-2^2}{\sqrt{7}-2}\\ =\dfrac{\sqrt{7}\left(\sqrt{3}+1\right)}{1+\sqrt{3}}-\dfrac{\left(\sqrt{7}-2\right)\left(\sqrt{7}+2\right)}{\sqrt{7}-2}\\ =\sqrt{7}-\left(\sqrt{7}+2\right)\\ =-2\)

Ta có:

\(A=1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{96}+3^{97}+3^{98}\\ \left(1+3+3^2\right)+3^3\left(1+3+3^2\right)+...+3^{96}\left(1+3+3^2\right)\\ =13+3^3.13+...+3^{96}.13\\ =13\left(1+3^3+3^6+...+3^{96}\right)⋮13\Rightarrow A⋮13\)

Để chứng minh \(A⋮20\) ta chứng minh \(\left\{{}\begin{matrix}A⋮4\\A⋮5\end{matrix}\right.\) vì \(\left(4;5\right)=1\)

Ta có:

+ \(A=1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{96}+3^{97}+3^{98}\\ =\left(1+3\right)+3^2\left(1+3\right)+3^4\left(1+3\right)+...+3^{96}\left(1+3\right)+3^{98}\\ =4\left(1+3^2+3^4+...+3^{96}\right)+3^{98}\)

\(3^{98}\) có chữ số tận cùng có thể là 1;3;7;9 nên \(3^{98}\) không chia hết cho 4

Vậy A không thể chia hết cho 20.

b.

Ta có:

\(A=1+3+3^2+3^4+3^5+3^6+...+3^{96}+3^{97}+3^{98}\\ \Rightarrow3A=3+3^2+3^4+3^5+3^6+...+3^{96}+3^{97}+3^{99}\\ \Rightarrow3A-A=3^{99}-1\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{3^{99}-1}{2}\)

Ta thấy \(3^4=81\Rightarrow3^{99}=3^{96}.3^3=\left(3^4\right)^{24}.3^3=\overline{...7}\)

\(\Rightarrow3^{99}-1=\overline{...7}-1=\overline{...6}\\ \Rightarrow\dfrac{3^{99}-1}{2}=\dfrac{\overline{...6}}{2}=\overline{...3}\)

Đs....

 

Xét \(x;y\inℕ^∗\) suy ra:

\(5xy\ge5\Rightarrow5xy+x+y\ge7\)

\(\Rightarrow5xy+x+y=2\) vô nghiệm.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi \(5xy=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

nếu \(x=0\Rightarrow5xy+x+y=2\\ \Leftrightarrow5.0.y+0+y=2\\ \Rightarrow y=2\)

Tương tự \(y=0\Rightarrow x=2\)

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: \(\left(x,y\right)=\left(0;2\right);\left(2;0\right)\)

Ta có:

\(\sqrt{3}sinx-cosx=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinx-\dfrac{1}{2}cosx=0\)

Đặt \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}=cos\dfrac{\Pi}{6};\dfrac{1}{2}=sin\dfrac{\Pi}{6}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinx-\dfrac{1}{2}cosx=0\Leftrightarrow cos\dfrac{\Pi}{6}sinx-sin\dfrac{\Pi}{6}cosx=0\\ \Leftrightarrow sin\left(x-\dfrac{\Pi}{6}\right)=0\\ \)

\(\Rightarrow x-\dfrac{\Pi}{6}=k\Pi,k\inℤ\\ \Rightarrow x=\dfrac{\Pi}{6}+k\Pi,k\inℤ\)

 

 

1. Chứng minh rằng:

a. \(1005a+2100b⋮15,\forall a,b\inℕ\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}1005⋮3\\1005⋮5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2100⋮3\\2100⋮5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}1005a⋮3\\1005a⋮5\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2100b⋮3\\2100b⋮5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) 

Vì \(\left(3;5\right)=1\) suy ra:

\(\left\{{}\begin{matrix}1005a⋮15\\2100b⋮15\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1005a+2100b⋮15,\forall a,b\inℕ\)

b.

3 số tự nhiên liên tiếp có dạng:

\(a;a+1;a+2;a\inℕ\)

Tổng 3 số tự nhiên liên tiếp là: 

\(a+a+1+a+2=3a+3\\ =3\left(a+1\right)⋮3\left(đpcm\right)\)

c.

Bốn số liên tiếp có dạng:

\(a;a+1;a+2;a+3;a\inℕ\)

Tổng 4 số tự nhiên liên tiếp là:

\(a+a+1+a+2+a+3=4a+6\\ \)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a⋮4\\6⋮̸4\end{matrix}\right.\)  \(4a+6⋮̸4\)

d.

5 số chẵn liên tiếp là:

\(2k;2k+2;2k+4;2k+6;2k+8;k\inℕ\)

Tổng 5 số chẵn liên tiếp là:

\(2k+2k+2+2k+4+2k+6+2k+8\\ =10k+20\\ =10\left(k+2\right)⋮10.đpcm\)

e.

5 số lẻ liên tiếp có dạng:

\(2k+1;2k+3;2k+5;2k+7;2k+9;k\inℕ\)

Tổng 5 số lẻ liên tiếp là:

\(2k+1+2k+3+2k+5+2k+7+2k+9\\ =10k+20+5=10\left(k+2\right)+5:10.dư.5\)

2.

Một số tự nhiên chia cho 5 có số dư có thể là 1;2;3 hoặc 4

Theo bài ra ta có 4 số tự nhiên thõa mãn bài toán có dạng:

\(5k+1;5k+2;5k+3;5k+4;k\inℕ\)

Tổng bốn số tự nhiên đã cho là:

\(5k+1+5k+2+5k+3+5k+4\\ =20k+10\\ =10\left(2k+1\right)⋮5\Rightarrowđpcm\)

 

Ta có:

\(A=2+2^2+2^3+...+2^{60}\\ \Rightarrow2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{61}\\ \Rightarrow2A-A=2^{61}-2\\ \Rightarrow A=^{61}-2\)

b.

Ta có:

\(A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{57}+2^{58}+2^{59}+2^{60}\\ =2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{57}\left(1+2+2^2+2^3\right)\\ =2.15+2^5.15+...+2^{57}.15\\ =15\left(2+2^5+...+2^{57}\right)⋮15\Rightarrow A⋮15\)

\(\left(3;5\right)=1\Rightarrow A⋮15\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}A⋮3\\A⋮5\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

+ \(A=2+2^2+2^3+...+2^{60}\\ =2\left(1+2+2^2\right)+2^4\left(1+2+2^2\right)+...+2^{58}\left(1+2+2^2\right)\\ =2.7+2^4.7+...+2^{58}.7\\= 7\left(2+2^4+...+2^{58}\right)⋮7\\ \Rightarrow A⋮7\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) suy ra điều phải chứng minh.

Bộ 4 số khác nhau có tổng chia hết cho 9 là:

\(\left(0;1;2;6\right)\left(0;1;3;5\right)\left(0;2;3;4\right)\left(0;3;7;8\right)\\ \left(0;4;6;8\right)\left(0;5;6;7\right)\left(1;2;7;8\right)\left(1;3;6;8\right)\\ \left(1;4;5;8\right)\left(2;3;5;8\right)\left(2;3;6;7\right)\left(2;4;5;7\right)\\ \left(3;4;5;6\right)\)

Có 6 bộ số chứa số 0, mỗi bộ số có 3.3.2.1 = 18 số thõa mãn bài toán.

Có 7 bộ số không chứa số 0, mỗi bộ số có 4! = 24 số thõa mãn bài toán.

Có tất cả các số thõa mãn bài toán là:

\(18.6+24.7=384\) thõa mãn bài toán.

Đs....

Ta có:

\(P=\dfrac{5}{x^2+y^2}+\dfrac{3}{xy}=\dfrac{5}{x^2+y^2}+\dfrac{5}{2xy}+\dfrac{1}{2xy}\\ =5\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)

Với hai số dương \(x;y\) , bằng cách khai triển tương đương hai vế ta dễ dàng chứng minh được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (BĐT Cauchy-Schwarz)

Áp dụng vào biểu thức P ta có:

\(P\ge5\left(\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\right)+\dfrac{1}{2xy}\\ \ge5\left(\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\right)+\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2"cosy"}\\ \ge\dfrac{5.4}{3^2}+\dfrac{2}{3^2}=\dfrac{22}{9}\)

Dấu \('='\) xảy ra khi \(x=y=\dfrac{3}{2}\)