Nguyễn Ngọc Anh Minh
Giới thiệu về bản thân
Trong tg ABC Nối AG cắt BC tại M => AM là trung tuyến tg ABC
\(\Rightarrow BC\perp AM\) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)
Ta có
\(SA\perp\left(ABC\right)\left(gt\right)\Rightarrow BC\perp SA\)
\(\Rightarrow BC\perp\left(SAM\right)\)
Trong (SAM) từ G dựng đường thẳng vuông góc với SM cắt SM tại H \(\Rightarrow GH\perp SM\)
Ta có
\(BC\perp\left(SAM\right);GH\in\left(SAM\right)\Rightarrow GH\perp BC\)
Mà \(SM;BC\in\left(SBC\right)\)
\(\Rightarrow GH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow GH=d\left(G;\left(SBC\right)\right)\)
Xét tg vuông ABM có
\(AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{AB^2-\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow GM=\dfrac{AM}{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2.3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)
Ta có
\(SA\perp\left(ABC\right);AM\in\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp AM\)
Xét tg vuông SAM có
\(SM=\sqrt{SA^2+AM^2}=\sqrt{4a^2+\dfrac{3a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{19}}{2}\)
Xét tg vuông GHM và tg vuông SAM có
\(\widehat{SMA}\) chung
=> tg GHM đồng dạng với tg SAM
\(\Rightarrow\dfrac{GH}{SA}=\dfrac{GM}{SM}\Rightarrow\dfrac{GH}{2a}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{6}}{\dfrac{a\sqrt{19}}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3\sqrt{19}}=\dfrac{1}{\sqrt{57}}\)
\(\Rightarrow GH=\dfrac{2a}{\sqrt{57}}\)
\(\Rightarrow100xa+10xb+c+10xa+b+a=111xa+11xb+c\)
\(\Rightarrow111xa+11xb+c=927\)
+ Nếu \(a=9\)
\(\Rightarrow111xa+11xb++a=111x9+11xb+c=\)
\(=999+11xb+c>927\) => a=9 loại
+Nếu \(a=7\)
\(\Rightarrow111xa+11xb+c=111x7+11xb+c=\)
\(=777+11xb+c\)
Ta có \(b\le9;c\le9\Rightarrow11xb+c\le99+9=108\)
\(\Rightarrow777+11xb+c\le777+108=885< 927\) => a=7 loại
=> a=8
\(\Rightarrow111xa+11xb+c=111x8+11xb+c=927\)
\(\Rightarrow11xb+c=39\)
\(\Rightarrow11xb< 39\Rightarrow b\le3\)
Ta có
\(11xb=39-c\) do \(c\le9\Rightarrow11xb\ge39-9=30\Rightarrow b\ge3\)
=> b=3
\(\Rightarrow111xa+11xb+c=927\)
\(\Rightarrow111x8+11x3+c=927\Rightarrow c=6\)
Thử
\(836+83+8=927\)
\(\Rightarrow a=8;b=3;c=6\)
\(C_{ABNM}=2\left(AB+BN\right)=2\left(AB+\dfrac{BC}{2}\right)=2\left(x+1\right)\)
\(S_{ABCD}=BC.AB=2x\)
Theo đề bài
\(\Rightarrow2\left(x+1\right)=2x\) => xem lại đề bài
a/
Xét tg vuông ABD có
\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{12}{13}\)
\(\sin\widehat{BAD}=\sin\left(\dfrac{\Pi}{2}-\widehat{B}\right)=\cos\widehat{B}\)
Ta có
\(\sin^2\widehat{B}+\cos^2\widehat{B}=1\Rightarrow\cos^2\widehat{B}=1-\sin^2\widehat{B}=1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^2=\dfrac{25}{169}\)
\(\Rightarrow\sin\widehat{BAD}=\cos\widehat{B}=\sqrt{\dfrac{25}{169}}\)
\(\Rightarrow\sin\widehat{BAD}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{BD}{13}=\sqrt{\dfrac{25}{169}}\)
\(\Rightarrow BD=13.\sqrt{\dfrac{25}{169}}=5cm\)
Xét tg cân ABC có
\(BD=CD=\dfrac{1}{2}BC\) (trong tg cân đường cao hạ từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)
\(\Rightarrow BC=2.BD=2.5=10cm\)
b/
Xét tg BDM có
\(BI=MI\left(gt\right);DI\perp BM\) => tg BDM cân tại D (trong tg đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)
\(\Rightarrow DM=BD=\dfrac{1}{2}BC\)
c/
Ta có
\(DM=BD\left(cmt\right);BD=CD\left(cmt\right)\Rightarrow DM=BD=CD\)
=> tg BDM và tg CDM đều là tg cân tại D
Xét tg BCM có
\(\widehat{BMC}=\left(\widehat{BMD}+\widehat{CMD}\right)=180^o-\left(\widehat{ABC}+\widehat{BCM}\right)\)
Mà \(\widehat{BMD}=\widehat{ABC};\widehat{CMD}=\widehat{BCM}\) (góc ở đáy tg cân)
\(\Rightarrow\widehat{BMC}=180^o-\left(\widehat{BMD}+\widehat{CMD}\right)=180^o-\widehat{BMC}\)
\(\Rightarrow2\widehat{BMC}=180^o\Rightarrow\widehat{BMC}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\Rightarrow CM\perp AB\)
Mà \(AD\perp BC\)
=> H là trực tâm của tg ABC \(\Rightarrow BN\perp AC\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)
Xét tg vuông BCM và tg vuông BCN có
BC chung
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân)
=> tg BCM = tg BCN (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)
\(\Rightarrow BM=CN\) mà AB=AC (gt)
\(\Rightarrow\dfrac{BM}{AB}=\dfrac{CN}{AC}\) => MN//BC (Talet đảo) (1)
Xét tứ giác BDME có
BI=MI (gt); EI=DI (gt) => BDME là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)
=> ME//BD (Trong hbh các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)
=> ME//BC (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow MN\equiv ME\) (Từ 1 điểm bên ngoài 1 đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng cho trước)
=> E; M; N thẳng hàng
Đặt tuổi Hùng là 1 phần
|------| Tuổi Hùng
|------|------|------| Tuổi chị sau khi thêm 6 tuổi nữa
|------|------|------|------| Tuổi chị sau khi thêm 15 tuổi nữa
Nhìn vào sơ đồ đoạn thẳng giá trị 1 phần hay tuổi Hùng là
15-6=9 tuổi
Tuổi chị là
9x3-6=21 Tuổi
a/ Đặt vế trái là A ta có
\(A< \dfrac{2013}{2013+2013}+\dfrac{2014}{2014+2014}+\dfrac{2015}{2015+2015}+\dfrac{2016}{2016+2016}=\)
\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=2\)
b/
b/
\(2015^{2016}+2015^{2015}=2015^{2015}\left(2015+1\right)=2016.2015^{2015}\)
\(2016^{2016}=2016.2016^{2015}\)
Ta thấy \(2015^{2015}< 2016^{2015}\Rightarrow2016.2015^{2015}< 2016.2016^{2015}\)
\(\Rightarrow2015^{2016}+2015^{2015}< 2016^{2016}\)
\(2B=\dfrac{3-1}{1.2.3}+\dfrac{4-2}{2.3.4}+\dfrac{5-3}{3.4.5}+...+\dfrac{99-97}{97.98.99}=\)
\(=\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{3.4}-\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{97.98}-\dfrac{1}{98.99}=\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{98.99}\)
\(\Rightarrow B=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{98.99}\right):2\)
a/
Ta có
\(\widehat{OAC}=\widehat{OGC}=90^o\)
=> A và G cùng nhìn OC dưới hai góc bằng nhau và bằng \(90^o\) => A và C thuộc đường trong đường kính OC => ACGO nội tiếp
Xét tg vuông OGF và tg vuông CAF có chung \(\widehat{AFC}\)
=> tg OGF đồng dạng với tg CAF (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{GO}{AC}=\dfrac{FO}{FC}\Rightarrow GO.FC=AC.FO\)
b/
Xét tứ giác nội tiếp ACGO có
\(\widehat{OCG}=\widehat{OAG}\) (góc nt cùng chắn cung GO)
EK//CO (gt) \(\Rightarrow\widehat{OCG}=\widehat{HEG}\) (góc so le trong)
\(\Rightarrow\widehat{OAG}=\widehat{HEG}\)
=> A và E cùng phía với GH; A và E cùng nhìn GH dưới 2 góc bằng nhau => AGHE là tứ giác nội tiếp
\(\widehat{BAE}=\widehat{HGE}\) (góc nt cùng chắn cung HE
Xét (O) có
\(\widehat{BAE}=\widehat{BDE}\) (Góc nt cùng chắn cung BE)
\(\Rightarrow\widehat{HGE}=\widehat{BDE}\) mà 2 góc trên ở vị trí đồng vị =>GH//KD (1)
Ta có
\(OG\perp DE\Rightarrow GD=GE\) (trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung) (2)
Xét tg DEK từ (1) và (2) => HK=HE (trong tam giác đường thẳng // với 1 cạnh và đi qua trung điểm của 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)