\(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(A=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+a^2+c^2-2ca}=\)

\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)}=\)

\(=\dfrac{-2\left(ab+bc+ca\right)}{-4\left(ab+bc++ca\right)-2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{1}{3}\)

Xét (O) có

sđ cung IQ = sđ cung KQ (gt)

=> IQ=KQ => tg IQK cân tại Q

OI=OK (bán kính (O))

\(\Rightarrow OQ\perp IK\) (trong tam giác cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

\(\Rightarrow\widehat{QOK}=90^o\)

Ta có

\(\widehat{IPK}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> O và P cùng nhìn HK dưới 2 góc bằng nhau và bằng 90 độ

=> O và P thuộc đường tròn đường kính HK => OKPH là tứ giác nội tiếp

b/

Xét tg HIK có

\(OH\perp IK;OI=OK\) => tg HIK cân tại H (tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì đó là tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{KIP}=\widehat{HKI}\) (góc ở đáy tg cân)

Ta có

\(\widehat{PHK}=\widehat{KIP}+\widehat{HKI}\) (trong tg góc ngoài bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)

\(\Rightarrow\widehat{PHK}=2\widehat{KIP}\Rightarrow\widehat{KIP}=\dfrac{1}{2}\widehat{PHK}\)

\(S=\left(1+\dfrac{1}{1.3}\right)+\left(1+\dfrac{1}{2.4}\right)+\left(1+\dfrac{1}{3.5}\right)+...+\left(1+\dfrac{1}{998.1000}\right)=\)

\(=998+\left(\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{997.999}\right)+\left(\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{4.6}+...+\dfrac{1}{998.1000}\right)\)

\(A=\dfrac{1}{1.3}+\dfrac{1}{3.5}+...+\dfrac{1}{997.999}\)

\(\Rightarrow2A=\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+...+\dfrac{2}{997.999}=1-\dfrac{1}{999}=\dfrac{998}{999}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{488}{999}\)

\(B=\dfrac{1}{2.4}+\dfrac{1}{4.6}+...+\dfrac{1}{998.1000}\)

\(\Rightarrow2B=\dfrac{2}{2.4}+\dfrac{2}{4.6}+...+\dfrac{2}{998.1000}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1000}=\dfrac{499}{1000}\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{499}{2000}\)

\(\Rightarrow S=998+\dfrac{499}{999}+\dfrac{499}{2000}\)

a/

Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta BMC\) có

MD = MB (cạnh tg đều BMD) (1)

MA = MC (cạnh tg đều AMC) (2)

\(\widehat{AMD}=\widehat{AMB}-\widehat{BMD}=180^o-60^o=120^o\)

\(\widehat{BMC}=\widehat{AMB}-\widehat{AMC}=180^o-60^o=120^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMD}=\widehat{BMC}=120^o\) (3)

Từ (1) (2) (3) => \(\Delta AMD=\Delta BMC\left(c.g.c\right)\Rightarrow AD=BC\)

b/

Xét \(\Delta AEM\) và \(\Delta CFM\) có

MA = MC (cạnh tg đều AMC) (4)

\(AD=BC\left(cmt\right);AE=\dfrac{AD}{2};CF=\dfrac{BC}{2}\Rightarrow AE=CF\) (5)

\(\Delta AMD=\Delta BMC\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{MAD}=\widehat{MCB}\) (6)

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow\Delta AEM=\Delta CFM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow ME=MF\) và \(\widehat{AME}=\widehat{CMF}\)

Ta có

\(\widehat{AME}+\widehat{EMC}=\widehat{AMC}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CMF}+\widehat{EMC}=\widehat{EMF}=60^o\)

=> \(\Delta MEF\) là tg đều

\(\Rightarrow3\left(a-b\right)=5\left(a-b\right)\) 

\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)=0\Leftrightarrow a-b=0\Leftrightarrow a=b\)

Từ

\(3\left(a-b\right)=\dfrac{a}{b}\Rightarrow\dfrac{a}{b}=0\Rightarrow a=0\)

\(\Rightarrow a=b=0\) mà \(b\ne0\)

=> Dãy đẳng thức trên không tồn tại

a/

Ta có

ABCD là HCN (gt) \(\Rightarrow BC\perp AB\)

\(SA\perp\left(ABCD\right);BC\in\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\)

\(\Rightarrow BC\perp AB;BC\perp SA\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\) mà \(SB\in\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow BC\perp SB\) => tg SBC vuông tại B

b/ Chứng minh tương tự cũng có

\(CD\perp\left(SAD\right)\) mà \(SD\in\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow CD\perp SD\) => tg SCD vuông tại D

c/

Ta có

\(BC\perp\left(SAB\right)\left(cmt\right);AH\in\left(SAB\right)\Rightarrow AH\perp BC\) 

mà \(AH\perp SB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\) mà \(SC\in\left(SBC\right)\)

\(\Rightarrow SC\perp AH\)

C/m tương tự ta cũng có \(SC\perp AK\)

\(\Rightarrow SC\perp\left(AHK\right)\)

d/

Ta có

\(SC\perp\left(AHK\right)\left(cmt\right);HK\in\left(AHK\right)\Rightarrow HK\perp SC\)

Đặt số thứ nhất là \(\overline{abcd}\) thì các số thứ 2; 3; 4 lần lượt là \(\overline{abc};\overline{ab};a\)

Theo đề bài có

\(\overline{abcd}+\overline{abc}+\overline{ab}+a=2003\)

\(\Rightarrow1000xa+\overline{bcd}+100xa+\overline{bc}+10xa+b+a=2003\)

\(\Rightarrow1111xa+\overline{bcd}+\overline{bc}+b=2003\)

\(\Rightarrow1111xa\le2003\Rightarrow a< 2\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow\overline{bcd}+\overline{bc}+b=2003-1111xa=2003-1111x1=892\)

\(\Rightarrow100xb+\overline{cd}+10xb+c+b=892\)

\(\Rightarrow111xb+\overline{cd}+c=892\)

Ta có \(c\ge0;d\ge0\Rightarrow111xb\le892\Rightarrow b\le8\)

Ta có \(c\le9;d\le9\Rightarrow111xb\ge892-99-9=784\Rightarrow b>7\)

\(\Rightarrow7< b\le8\Rightarrow b=8\)

\(\Rightarrow111x8+\overline{cd}+c=892\)

\(\Rightarrow\overline{cd}+c=892-888=4\Rightarrow c=0;d=4\)

\(\Rightarrow a=1;b=8;c=0;d=4\)

Thử

\(1804+180+18+1=2003\)

\(\Rightarrow100xa+10xb+c+10xa+b+a=111xa+11xb+c\)

\(\Rightarrow111xa+11xb+c=927\)

+ Nếu \(a=9\)

\(\Rightarrow111xa+11xb++a=111x9+11xb+c=\)

\(=999+11xb+c>927\) => a=9 loại

+Nếu \(a=7\)

\(\Rightarrow111xa+11xb+c=111x7+11xb+c=\)

\(=777+11xb+c\)

Ta có \(b\le9;c\le9\Rightarrow11xb+c\le99+9=108\)

\(\Rightarrow777+11xb+c\le777+108=885< 927\) => a=7 loại

=> a=8

\(\Rightarrow111xa+11xb+c=111x8+11xb+c=927\)

\(\Rightarrow11xb+c=39\)

\(\Rightarrow11xb< 39\Rightarrow b\le3\)

Ta có 

\(11xb=39-c\) do \(c\le9\Rightarrow11xb\ge39-9=30\Rightarrow b\ge3\)

=> b=3

\(\Rightarrow111xa+11xb+c=927\)

\(\Rightarrow111x8+11x3+c=927\Rightarrow c=6\)

Thử

\(836+83+8=927\)

\(\Rightarrow a=8;b=3;c=6\)