Xét $\Delta BED$ có {��//����=��{​MI//EDME=BM​ suy ra $ID=IB$.

Xét $\Delta CED$ có {��//����=��{​NK//EDNC=ND​ suy ra $KE=KC$.

Suy ra $MI=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}ED$; $NK=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}ED$; $ED=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$.

$IK=MK-MI=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DE=DE-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DE=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DE$.

Vậy $MI=IK=KN$.

a) Vì $BM$, $CN$ là các đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $MA=MC$, $NA=NB$.

Do đó $MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$, suy ra $MN$ // $BC$. (1)

Ta có $DE$ là đường trung bình của $\Delta GBC$ nên $DE$ // $BC$.  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ // $DE$.

b) Xét $\Delta ABG$, ta có $ND$ là đường trung bình.

Xét $\Delta ACG$, ta có $ME$ là đường trung bình.

Do đó $ND$ // $AG$, $ME$ // $AG$.

Suy ra $ND$ // $ME$.

a) Qua $D$ vẽ một đường thẳng song song với $BM$ cắt $AC$ tại $N$.

Xét $\Delta MBC$ có $DB=DC$ và $DN$ // $BM$ nên $MN=NC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MC$ (định lí đường trung bình của tam giác).

Mặt khác $AM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MC$, do đó $AM=MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MC$.

Xét $\Delta AND$ có $AM=MN$ và $BM$ // $DN$ nên $OA=OD$ hay $O$ là trung điểm của $AD$.

b) Xét $\Delta AND$ có $OM$ là đường trung bình nên $OM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DN$. (1)

Xét $\Delta MBC$ có $DN$ là đường trung bình nên $DN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BM$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $OM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}BM$.

a) Kẻ $MN$ // $BD$, $N\in AC$.

$MN$ là đường trung bình trong $△CBD$

Suy ra $N$ là trung điểm của $CD$ (1).

$IN$ là đường trung bình trong $△AMN$

Suy ra $D$ là trung điểm của $AN$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $AD=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DC$.

b) Có $ID=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}MN$; $MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BD$, nên $BD=ID$.

Xét tam giác $ABC$, áo dụng tính chất tia phân giác trong tam giác, ta có: 

$\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{MB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AN}{NC}\left(=\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a}\right)$

Vậy $MN$ // $BC$ (Định lí đảo của định lí Thalès)

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{MN}{BC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{b+a}$ (Định lí Thalès)

Vậy nên $MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{ab}{a+b}.$

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC=12$ cm.

​a) Xét tam giác $ABC$, áp dụng tính chất tia phân giác ta có:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{DB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{6}=2$

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$ suy ra $AD=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}.12=8$ (cm)

Do đó, $DB=12-8=4$ (cm).

b) Do $CE$ vuông góc với phân giác $CD$ nên $CE$ là phân giác ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $ABC$.

Vậy $\genfrac{}{}{0ex}{}{EB}{EA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AC}$ hay $\genfrac{}{}{0ex}{}{EB}{EB+BA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AC}$

Gọi độ dài $EB$ là $x$ thì $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x+12}=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{12}$.

Vậy $x=12$ (cm).