Nhận xét: \(\left(n+1\right)\sqrt{n}=\sqrt{\left(n+1\right)^2n}=\sqrt{\left(n+1\right)n\left(n+1\right)};n\sqrt{n+1}=\sqrt{n^2\left(n+1\right)}=\sqrt{n.n\left(n+1\right)}\)

=> \(\left(n+1\right)\sqrt{n}>n\sqrt{n+1}\) => \(2.\left(n+1\right)\sqrt{n}>\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}\)

=> \(\frac{2}{2.\left(n+1\right)\sqrt{n}}

Ta có:

\(\frac{1}{\left(n-1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)

Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{2}{2\left(n+1\right)\sqrt{n}}

\(\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2+c^2}\ge b\left(a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)\ge b^2\left(a+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^4\ge2b^2.ac\)

\(\Leftrightarrow\left(b^2-ac\right)^2\ge0\)

Do bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đầu đúng.

Dấu "=" xảy ra khi \(b^2=ac\)

Gọi số cần tìm là n=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯a1a2a3a4a5a6n=a1a2a3a4a5a6¯

Đặt x=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯a1a2a3x=a1a2a3¯ . Khi ấy ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯a4a5a6=x+1a4a5a6¯=x+1 và n=1000x+x+1=1001x+1=y2n=1000x+x+1=1001x+1=y2 hay (y−1)(y+1)=7.11.13x(y−1)(y+1)=7.11.13x

Vậy hai trong ba số nguyên tố 7,11,137,11,13 phải là ước của một trong hai thừa số của vế trái và số còn lại phải là ước của thừa số còn lại của vế trái.

Đến đây dùng máy tính ta tìm đc n=183184;328329;528529;715716

lí luận là ước rồi thì sao ra thế

Ta có:(x-y)²>0

=>x²-2xy+y²>0

=>x²+y²>2xy

=>x²+y²/2>xy

Dấu = xảy ra <=>x=y

\(\frac{x^2+y^2}{2}\ge xy\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{2}\ge\frac{2xy}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(\text{Luôn đúng với mọi x;y}\right)\)

\(\text{Vậy }\frac{x^2+y^2}{2}\ge xy\)

\(\text{Dấu "=" xảy ra khi }x=y\)

Tóm tắt thôi nhé

a) Các cạnh // => Hình bình hành

T/g OBE = t/g OCD (^B=^C=90*, OB=OC, ^BOE=^COD vì cùng phụ với EOD) => OE = OD (2 cạnh kề) => Hình thoi

b) Nối OO' => 2 tam giác cân cùng góc đáy => so le trong => //

c) 1] OO' là đường trung trực của AB => đường trung bình

2] CB//OO'

Cm tương tự 1] để được BD//OO' => Ơ-clit => thẳng hàng