\(=\sqrt[3]{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}\sqrt[6]{\left(4\sqrt{2}\right)^2+2.4\sqrt{2}.2\sqrt{3}+\left(2\sqrt{3}\right)^2}\)

\(=\sqrt[3]{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}\sqrt[6]{\left(2\sqrt{3}+4\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\sqrt[3]{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}\sqrt[3]{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt[3]{\left(2\sqrt{3}+4\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\sqrt[3]{44+16\sqrt{6}}\)

(a)  Do P là trung điểm AE, O là trung điểm AB, suy ra PO là đường trung bình tam giác ABE. Do vậy mà OP song song với BE. Vì CD là đường kính nên \(CB\perp BF\to PO\perp BF.\) Vì \(EF\) là tiếp tuyến tại A của đường tròn nên \(BA\perp EF.\) Vậy O là trực tâm của tam giác BPQ. Thành thử OF vuông góc với BP. Do H là trực tâm tam giác BPQ nên QH vuông góc với BP. Do đó OF song song với QH. Mà Q là trung điểm AF, nên QH là đường trung bình tam giác AOF. Vậy H là trung điểm AO. 

(b)  Ta có \(S_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot PQ=R\cdot PQ=R\cdot\frac{EF}{2}.\) Vậy diện tích tam giác APQ bé nhất khi và chỉ khi \(EF\) nhỏ nhất. Xét tam giác vuông BEF, theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, suy ra \(AB^2=AE\cdot AF\to AE\cdot AF=4R^2.\) Theo bẩt đẳng thức Cô-Si ta có \(EF=AE+AF\ge2\sqrt{AE\cdot AF}=2\sqrt{4R^2}=4R.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(AE=AF\Leftrightarrow\Delta BEF\) vuông cân \(\Leftrightarrow BA\) là phân giác của góc \(\angle CBD\) \(\Leftrightarrow CD\perp AB.\) 

Vậy diện tích tam giác BPQ bé nhất khi và chỉ khi 2 đường kính AB,CD vuông góc với nhau. Khi đó giá trị bé nhất \(S_{APQ}=\frac{1}{2}AB\cdot EF=\frac{1}{2}\cdot2R\cdot4R=4R^2.\)

(c)  Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu ta có 

\(AE^2=CE\cdot BE,AF^2=BF\cdot DF\to\frac{AE^2}{AF^2}=\frac{CE\cdot BE}{BF\cdot DF}\to\frac{CE}{DF}=\frac{BF}{BE}\cdot\frac{AE^2}{AF^2}\)

Mặt khác, \(BE^2=EF\cdot EA,BF^2=FA\cdot FE\to\frac{BE^2}{BF^2}=\frac{EA}{FA}\to\frac{EA^2}{FA^2}=\frac{BE^4}{BF^4}.\)

Từ hai đẳng thức ta suy ra \(\frac{CE}{DF}=\frac{BF}{BE}\cdot\frac{BE^4}{BF^4}=\frac{BE^3}{BF^3}.\)

\(=\sqrt{7^2-2.7.3\sqrt{5}+\left(3\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{7^2+2.7.3\sqrt{5}+\left(3\sqrt{5}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(7-3\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{\left(7+3\sqrt{5}\right)^2}\)

\(=7-3\sqrt{5}+7+3\sqrt{5}=14\)

\(a>0;a\ne1\)