Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m,p sao cho :

 96 000 ... 000 + a + 15p < 97 000 ... 000

     M chữ số 0                     M chữ số 0

Tức là \(96\frac{a}{10^m}\)+ \(\frac{15p}{10^m}\)\(< 97\left(1\right)\)

Gọi a + 15 là số có k chữ số 10^kl + 15 < 10^k

=> \(\frac{1}{10}\)\(\le\frac{a}{10^k}\)+ \(\frac{15p}{10^k}\). Theo (2)

Ta có : x₁ < 1 và \(\frac{15}{10^k}\)< 1

Cho n nhận lần lượt các giá trị 1;3;4;....; các giá trị nguyên của x_n tăng dần, mỗi lần tăng không quá 1 đơn vị, khi đó [ x_n sẽ trải qua các giá trị 1,2,3. Đến 1 lúc ta có [x_p] = 96. Khi đó 96x_p tức là \(96\frac{a}{10^k}\)+ \(\frac{15}{10^k}\)< 97. Bất đẳng thức (1) đợt chứng minh.

\(B=\frac{2cosa-sina}{cosa+2sina}=\frac{2-tana}{1+2tana}=\frac{2-2+\sqrt{3}}{1+2\left(2-\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}}\)

PS: Mấy cái như điều kiện xác định thì bạn tự làm nhé.

Theo BĐT Cauchy-Schwarz:

\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{4}{2}=2\)

Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 4/3

\(x^4+\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2-1+\sqrt{x^2+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=1-x^2\)

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}VT=x^2+1\ge1\\VT=1-x^2\le1\end{cases}}\)

Dấu = xảy ra khi x = 0

\(\hept{\begin{cases}x^3+2x=y^3+2y\left(1\right)\\x^2+3y^2=1\left(2\right)\end{cases}}\)

Xét  PT (1) ta có: 

\(x^3-y^3+2x-2y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+2\right)=0\)

Vì \(x^2+xy+y^2+2>0\) nên 

\(\Rightarrow x=y\)

Thế vô PT (2) ta có

\(4x^2=1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\x=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)