cái này dễ mà, áp dụng bđt Cô-si : \(x+\frac{4}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{4}{x}}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi x=2

Ta có:

\(P=\sqrt{x^2+6x+13}\)

     \(=\sqrt{x^2+6x+9+4}\)

      \(=\sqrt{\left(x+3\right)^2+4}>=4\)

=>\(P>=4\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=-3

\(P=\sqrt{x^2+6x+13}\Rightarrow P^2=x^2+6x+13=\left(x+3\right)^2+4=0+4=4\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{4}=2.\)

\(\text{Vậy: giá trị nhỏ nhất của P là: 2 dấu bằng xảy ra khi: }\)\(x=-3\)

Đặt a=x+y,b=xy 
Khi đó pt được viết lại là \(a^3-3ab-3b=0\)
PT ⇔\(a^3-3=3b\left(a+1\right)\)
Suy ra \(\left(a^3+1-4\right)⋮\left(a+1\right)\)
Hay \(4⋮\left(a-1\right)\)
Công việc còn lại dành cho bạn.

Đặt $a=x+y,b=xy$ 
Khi đó pt được viết lại là $a^3-3ab-3b-3=0$ 
PT $\iff a^3-3=3b(a+1)$ 
Suy ra $(a^3+1-4)⋮(a+1)$ 
Hay $4⋮(a-1)$ 
Công việc còn lại dành cho bạn 

b,diện tích tam giác AMB=1/2.MP.AB=1/2.MP.BC;diện tích tam giác AMC=1/2.MQ.AC=1/2.MP.BC(AB=BC=CA tam giác đều) S tam giác ABC=1/2.AH.BC

Ta có:S AMB+S AMC=S ABC <=>

1/2 .MP.BC+1/2 MQ.BC=1/2 AH.BC⇔1/2 BC(MP+MQ)=1/2 .BC.AH

=> MP+MQ=AH

c) góc AHM=90(AH là đường cao)=> H cũng thuộc đường tròn đường kính AM <=> ngũ giác APMQH nội tiếp

(O): góc HAQ=1/2 góc HOQ(góc nt và góc ở tâm)

tam giác AHC vuông => góc HAC=90-C=90-60=30 độ hay HAQ=30(góc C=60 vì tam giác đều)

=> góc HOQ=2.30=60 . 

(O): góc PAQ=1/2 góc POQ(góc nt và góc ở tâm) <=> góc POQ=2.60=120( góc PAQ hay BAC=60- tam giác đều)

góc HOQ=60 => OH là pg của góc POQ.

tam giác POQ có: OP=OQ=R=> tam giác cân => OH đồng thời là đường cao => OH vuông góc PQ

K cho mk nha

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)

Bình 2 vế của pt do 2 vế dương ta có:

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge\left(\sqrt{a+b}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{ab}\ge0\) (luôn đúng)

Tức ta có điều phải cm

(Độc thoại: tđn điểm H nằm ngoài nhỉ ???)

giả sử H thuộc BC .ta có: \(\cot B+\cot C=\frac{BH}{AH}+\frac{CH}{AH}=\frac{BC}{AH}\)

xét tam giác vuông AHD có: AD là cạnh huyền => AD lớn nhất hay \(AH\le AD\)

\(\frac{BC}{AH}\ge\frac{BC}{AD}\)

mà AD là đường trung tuyến nên \(BD=DC=\frac{BC}{2}\),tam giácBOC vuông ở O có OD là đường trung tuyến => OD=BD.  ,O là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow AD=3OD\)

do đó \(\frac{BC}{AD}=\frac{2BD}{3OD}=\frac{2}{3}\)hay \(\cot B+\cot C\ge\frac{2}{3}\)

Dấu = xảy ra  khi D trùng H hay tam giác ABC cân ở A

thế nào nhỉ ( : 
Từ giả thiết => 1/x +1/y +1/z <= 1 
A/d  BĐT 1/(x +y+z) <= 1/9 ( 1/x + 1/y +1/z )  và 1/(x+y) <= 1/4 ( 1/x +1/y )
=> 1/(4x + y+z) = 1/(x+x + y+x + z+x) <= 1/9 ( 1/2x + 1/(y+x) + 1/(z+x) ) <= 1/9 ( 1/(2x)  + 1/4(1/y +1/x) + 1/4(1/x + 1/z)) 
Tương tự cộng lại và sử dụng 1/x +1/y +1/z <= 1
được P <= 1/6(1/x +1/y +1/z) <= 1/6 ĐPCM.