Cái này là điều hiển nhiên mà

\(2\sqrt{\left(-5\right)^6}+3\sqrt{\left(-2\right)^8}\)

\(=2.5^3+3.2^4\)

\(=2.125+3.16\)

\(=298\)

bạn để ý thấy  \(6^k\)  với  \(k\in N;k>1\)

- Nếu k lẻ thì  \(6^k\)  chia 28 dư 20

- Nếu k chẵn thì  \(6^k\)  chia 28 dư 8

=> 6¹⁹⁹¹ chia 28 dư 20

(mk dùng kí hiệu  \(\overline{...6}\)  để chỉ số có tận cùng là 6 nha)

Ta có  \(2^{1992}=\left(2^4\right)^{498}=\left(\overline{...6}\right)^{498}=\overline{..6}\)

=>  \(3^{2^{1992}}=3^6=9\)  (mod 10).       (Dòng này mk dùng dấu "=" thay cho dấu đồng dư nha vì ko có dấu đồng dư)

Lại có  \(9^{1992}=\left(9^4\right)^{498}=\left(\overline{...1}\right)^{498}=\overline{...1}\)

=>  \(2^{9^{1992}}=2^1=2\)  (mod 10)   (dòng này cũng là dấu đồng dư)

Do đó chữ số tận cùng của  \(3^{2^{1992}}-2^{9^{1992}}\)  là  9 - 2 = 7

Đk:\(0\le x\le\sqrt{17}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{17-x^2}-\left(-x+5\right)=\left(3-\sqrt{x}\right)^2-\left(-x+5\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{17-x^2-\left(x-5\right)^2}{\sqrt{17-x^2}-x+5}=x-6\sqrt{x}+9+x-5\)

\(\Leftrightarrow\frac{-2\left(x-1\right)\left(x-4\right)}{\sqrt{17-x^2}-x+5}-2\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-2\left(x-1\right)\left(x-4\right)}{\sqrt{17-x^2}-x+5}-\frac{2\left(x-1\right)\left(x-4\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(\frac{-2}{\sqrt{17-x^2}-x+5}-\frac{2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)=0\)

Rõ ràng là \(\frac{-2}{\sqrt{17-x^2}-x+5}-\frac{2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}< 0\) (loại)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-4=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=4\end{cases}}\)

\(a\left(b^2-c^2\right)+b\left(c^2-a^2\right)+c\left(a^2-b^2\right)=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(b-a\right)\)

Ta có  \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=3.1=3\)  \(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel

\(B=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\\ab+bc+ca=1\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}\)