Áp dụng công thức về chia hết:\(\left(a-1\right)^{2n+1}=B\left(a\right)-1\)

a

Ta có:\(2^{100}=2\cdot\left(2^3\right)^{33}=2\cdot\left(9-1\right)^{33}=2\left[B\left(9\right)-1\right]=B\left(9\right)-2=B\left(9\right)+7\)

Chia 9 dư 7

b

Áp dụng công thức chia hết \(\left(a-1\right)^{2n}=B\left(a\right)+1\)

Lại có:\(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}=\left[B\left(25\right)-1\right]^{10}=B\left(25\right)+1\)

chia 25 dư 1

Áp dụng công thức:  (m – n). ( m+ n) = m² – n² => m² – n² chia hết (m – n)

Ta có : f(x)=ax²- bx + c

=> Tính chất: f (m) – f(n) chia hết ( m – n)

Ta có:

 f(104) – f(9) chia hết 105

=> f(104) – f(9) chia hết 5

=> f(104) chia hết 5

Mặt khác:

f(104) – f(5) chia hết 99

=> f(104) – f(5) chia hết 9

=> f(104) chia hết 9

Vậy f(104) chia hết (5.9) = 45 

Thay x = \(\frac{1}{2}\), y = \(\frac{-1}{3}\)vào biểu thức A

Ta được: \(A=3.\left(\frac{1}{2}\right)^3.\left(\frac{-1}{3}\right)+6.\left(\frac{1}{2}\right)^2.\left(-\frac{1}{3}\right)^2+3.\frac{1}{2}.\left(\frac{-1}{3}\right)^2\)

\(=\frac{3.1.\left(-1\right)}{8.3}+\frac{6.1.1}{4.9}+\frac{3.1.1}{2.9}\)

\(=\frac{-1}{8}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{24}\)

Thay x = -1, y = 3 vào biểu thức B

Ta được:

B = (-1)². 3² + (-1) . 3 +(-1)³ +3³

   = 9 + (-3) + (-1) + 27  

   = 32

\(A=3x^2y+6x^2y^2+3xy^2\)

\(A=3\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(-\frac{1}{3}\right)+6\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(-\frac{1}{3}\right)^2+3\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)^2\)

\(A=\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\)

\(A=\frac{5}{24}\)

Vậy: Biểu thức A tại x = 1/2; y = -1/3 là: 5/24

\(B=x^2y^2+xy+x^3+y^3\)

\(B=\left(-1\right)^2.3^2+\left(-1\right).3+\left(-1\right)^3+3^3\)

\(B=9+\left(-3\right)+26\)

\(B=32\)

Vậy: biểu thức B tại x = -1; y = 3 là: 32