Hình thang ABCD có AB//CD . Đặt AB=a , CD=b , AD=d , BC=c . Tinh AC2+BD2 theo a,b,c,d .
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
giả sử tồn tại x, y, z thỏa mãn đk đầu bài suy ra: 1/x+1/y = 1/z (x,y,z khác 0) suy ra: z.(x+y)= x.y k thể có /z/ >1 vì đôi lúc z có duy nhất 1 ước nguyên tố p > hoặc = 2 suy ra: p phải là ước của x hoặc y vô lý vì (x,z)=(y,z) = 1 Vậy z = -1,1 với z = -1 suy ra: x+y= xy suy ra: (x+1).(y+1) =1 suy ra: x+1 = -1 và y +1 = -1
suy ra ra: x=y=-2 suy ra: x,y có chung ước 2 vô lý vì (x,y)=1 Với z =1 suy ra: x+y = xy suy ra : (x-1).(y-1) = 1 suy ra: x-1 = 1 va y-1=1 suy ra: x=y=2 vo ly vi (x,y)= 1 vay k ton tai x,y thỏa mãn đk bài toán
Trước hết ta chứng minh:\(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) (1)
Thật vậy: bất đẳng thức tương đương với:
\(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\frac{a+b}{ab}\)
\(\Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (Đúng)
Vậy (1) được chứng minh.
Tương tự: \(\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) (2)
\(\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\) (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) suy ra:
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Đpcm
/(a+b+1)+1/(b+c+1)+1/(c+a+1) ≤ 1
<=> (a+b+1)(b+c+1) + (b+c+1)(c+a+1) + (c+a+1)(a+b+1) ≤ (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)
<=> (a+b)(b+c)+a+b+b+c+1 + (b+c)(c+a)+b+c+c+a+1 + (c+a)(a+b)+c+a+a+b+1
≤ (a+b)(b+c)(c+a) + (a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b) +a+b+b+c+c+a+1
<=> 2+2(a+b+c) ≤ (a+b)(b+c)(c+a)
<=> 2+2(a+b+c) ≤ (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc
<=> 3 ≤ (a+b+c)(ab+bc+ca-2)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
(a+b+c)(ab+bc+ca-2) ≥ 3.³√(abc) .[3³√(ab.bc.ca) -2] = 3
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1
Ta có:
\(a^2-b=b^2-c=c^2-a\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2=b-c\\b^2-c^2=c-a\\c^2-a^2=a-b\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=\frac{b-c}{a-b}\\b+c=\frac{c-a}{b-c}\\c+a=\frac{a-b}{c-a}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\frac{b-c}{a-b}.\frac{c-a}{b-c}.\frac{a-b}{c-a}=1\)