Ta chứng minh bổ đề:

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge\frac{260}{9}-\frac{160x}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{9x^4+480x^3-242x^2+9}{9x^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-1\right)^2\left(x^2+54x+9\right)}{9x^2}\ge0\)(đúng)

Áp dụng vào bài toán ta được.

\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\)

\(\ge\frac{260}{9}-\frac{160a}{3}+\frac{260}{9}-\frac{160b}{3}+\frac{260}{9}-\frac{160c}{3}\)

\(=\frac{260}{3}-\frac{160}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{260}{3}-\frac{160}{3}=\frac{100}{3}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

áp dụng bunhia ta có:

\(\left(1+1+1\right)\left[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\right]\ge\left(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b}+c+\frac{1}{c}\right)^2\)

\(\ge\left(1+\frac{9}{a+b+c}\right)^2=100\)

\(\Rightarrow3\left[\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\right]\ge100\)

\(\Rightarrow\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2\ge\frac{100}{3}\left(Q.E.D\right)\)

a. tám giác ABC có A=90, B=60 => C=30

trong 1 tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30 độ thì =1/2 cạnh huyền

=> 2AB=BC hay BC=12

áp dụng đlý pytago vào ABC, ta tính đc AC=\(6\sqrt{3}\)

b. tam giác ABC có BD là tia phân giác góc B =>\(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}< =>\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BC}=>\frac{AD+DC}{AB+BC}=\frac{AC}{6+12}=\frac{6\sqrt{3}}{18}\)

=>\(\frac{AD}{AB}=\frac{6\sqrt{3}}{18}=>AD=\frac{6\sqrt{3}.6}{18}=2\sqrt{3}\)

áp dụng đlý pytago vào ABD => BD=\(4\sqrt{3}\)

GỌI CÁC CẠNH AB , AC , BC LẦN LƯỢT LÀ a , b , c => \(a^2+b^2=c^2\)

TA CÓ DIỆN TÍCH TAM GIÁC ABC = ab / 2

MẶT KHÁC S DIỆN TÍCH TAM GIÁC ABC = r ( a + b + c ) / 2

=> r = \(\frac{ab}{2}.\frac{2}{a+b+c}\)

=> \(r^2=\frac{a^2b^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

TA CÓ AH = \(\frac{ab}{c}\)

          BH = \(\frac{a^2}{c}\)

          CH = \(\frac{b^2}{c}\)

CHỨNG MINH TƯƠNG TỰ TRÊN TA ĐƯỢC

\(r_1^2=\frac{AH^2.BH^2}{\left(AB+AH+BH\right)^2}=\left(\frac{\frac{ab}{c}.\frac{a^2}{c}}{\frac{ab+a^2+ac}{c}}\right)^2=\left(\frac{a^2b}{c\left(a+b+c\right)}\right)^2\)

                                                                                   = \(\frac{a^4b^2}{c^2\left(a+b+c\right)^2}\)

\(r_2^2=\frac{a^2b^4}{c^2\left(a+b+c\right)^2}\)

=> \(r_1^2+r_2^2=\frac{a^2b^2\left(a^2+b^2\right)}{c^2\left(a+b+c\right)^2}=\frac{a^2b^2c^2}{c^2\left(a+b+c\right)^2}=\frac{a^2b^2}{\left(a+b+c\right)^2}=r^2\)

=> đpcm

Đề viết vậy e ko hiểu mong anh sửa lại 

1/ \(\sqrt{5-x^6}=\sqrt[3]{3x^4-2}+1\)

Đặt \(x^2=a\ge0\) thì ta có:

\(\sqrt{5-a^3}=\sqrt[3]{3a^2-2}+1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{3a^2-2}-1\right)+\left(2-\sqrt{5-a^3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3a^2-3}{\sqrt[3]{\left(3a^2-2\right)^2}+\sqrt[3]{\left(3a^2-2\right)}+1}+\frac{a^3-1}{2+\sqrt{5-a^3}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(\frac{3\left(a+1\right)}{\sqrt[3]{\left(3a^2-2\right)^2}+\sqrt[3]{\left(3a^2-2\right)}+1}+\frac{\left(a^2+a+1\right)}{2+\sqrt{5-a^3}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a-1=0\)

\(\Rightarrow x^2=1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)

2/ \(\sqrt{4x^2-1}+\sqrt{4x-1}=1\)

Điều kiện: \(\hept{\begin{cases}4x^2-1\ge0\\4x-1\ge0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x\ge\frac{1}{2}\)

Ta có: 

\(VT=\sqrt{4x^2-1}+\sqrt{4x-1}\)

\(\ge\sqrt{4.\left(\frac{1}{2}\right)^2-1}+\sqrt{4.\frac{1}{2}-1}=0+1=1=VP\)

Dấu = xảy ra khi \(x=\frac{1}{2}\)