đăngg nhiều vậy linh, mà  đã làm đến đề đó rồi cơ à chăm thế

Từ gt \(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}=2-\frac{1}{b+c+1}-\frac{1}{c+a+1}=\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}}\text{ }\left(1\right)\) (bđt Cauchy)

Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(a+c+1\right)}}\text{ }\left(2\right)\\\frac{1}{c+a+1}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)}}\text{ }\left(3\right)\end{cases}}\)

Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\frac{1}{a+b+1}.\frac{1}{b+c+1}.\frac{1}{c+a+1}\ge8\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2}{\left(a+b+1\right)^2\left(b+c+1\right)^2\left(c+a+1\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\ge8.\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow1\ge8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\le\frac{1}{8}\)Hay \(M\le\frac{1}{8}\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{4}\)

Ta có

\(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Áp dụng vào bài toán

\(S=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+.....+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(S=\sqrt{100}-\sqrt{1}=9\)

có cách nào khác ko

Số 2 ở trong căn hay ngoài căn thế?

Trong ạ =)))

Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x};t\ne0\). Ta có:

\(t^2=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2=\frac{x^2}{y^2}+2+\frac{y^2}{x^2}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)

\(\Rightarrow P=t^2-2-t=\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\ge-\frac{9}{4}\)

Vậy GTNN của P là:\(-\frac{9}{4}\)khi \(t=\frac{1}{2}\)

P/s Các bạn tham khảo nha

Ta có:

\(A=x^2-3x+5\)

\(A=\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)+5-\frac{9}{4}\)

\(A=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}\ge\frac{11}{4}\)

Vậy GTNN của A là \(\frac{11}{4}\)khi \(x=\frac{3}{2}\)

P/s tham khảo nha