Câu hỏi của Nguyễn Trang Linh       

 a) n^2 + 2n - 4 = n^2 + 2n - 15 + 11

= (n^2 + 5n - 3n -15) + 11

= (n - 3)(n + 5) + 11 để n^2 + 2n - 4 chia hết cho 11

<=> (n - 3).(n +5) chia hết cho 11

<=> n - 3 chia hết cho 11 hoặc n + 5 chia hết cho 11 ( Vì 11 là số nguyên tố)

n- 3 chia hết cho 11 <=> n = 11k + 3 ( k nguyên)

n + 5 chia hết cho 11 <=> n = 11k' - 5 ( k' nguyên)

Vậy với n = 11k + 3 hoặc n = 11k' - 5 thì.....

b)Sửa thành 2n^3 + n^2 +7n+1 mới lm đc nha!!

2n^3 + n^2 + 7n + 1 = n^2. (2n - 1) + 2n^2 + 7n + 1

= n^2. (2n -1) + n.(2n -1) + 8n + 1

= (n^2 + n)(2n -1) + 4.(2n -1) + 5

= (n^2 + n + 4)(2n -1) + 5

Để 2n^3 + n2 + 7n + 1 chia hết cho 2n - 1

<=> (n^2 + n + 4)(2n -1) + 5 chia hết cho 2n -1

<=> 5 chia hết cho 2n -1

<=> 2n - 1 ∈Ư(5) = {-5;-1;1;5} 

.......

       \(a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^2-c\right)\)

\(=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)+c\left(c^2-1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)(3)

Vì a,b,c là các số nguyên nên \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right),b\left(b-1\right)\left(b+1\right),c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)

là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chúng chia hết cho 6

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)(1)

Mà \(a+b+c⋮6\) (2)

Từ (1), (2) và (3) ta được: \(a^3+b^3+c^3⋮6\)

\(n^4-10n^2+9\)

\(=\)\(\left(n^4-n^2\right)-\left(9n^2-9\right)\)

\(=\)\(n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)

\(=\)\(\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)

\(=\)\(\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)

Mà n lẻ nên n có dạng \(2k+1\) \(\left(k\inℤ\right)\)

\(=\)\(\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=\)\(2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=\)\(16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)

\(=\)\(15k\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Lại có : 

\(16k\left(k+1\right)\left(k-2\right)\left(k+2\right)⋮16\)

\(15\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮8,⋮3\)

\(\Rightarrow\)\(15\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮384\) ( đpcm ) 

Vậy \(n^4-10n^2+9⋮384\) với mọi n là số nguyên lẻ 

Chúc bạn học tốt ~ 

Gọi S là diện tích của tam giác

Ta có : 

\(a=\frac{2S}{h_a};b=\frac{2S}{h_b};c=\frac{2S}{h_c}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(a+b+c\right)\left(\frac{h_a+h_b+h_c}{2S}\right)\)

\(=\left(h_a+h_b+h_c\right).\frac{a+b+c}{2S}=\left(h_a+h_b+h_c\right)\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\)

=> đpcm

Chủ tịch Hồ Chí Minh sáng lập

Hình như là Hồ Chí Minh

(x-2)²+(3-x)(3+x)=0

(x-2)²+3²-x²=0

[(x-2)-x²]+9=0

(x-2-x)(x-2+x)=-9

-2.(2x-2)=-9

-2.2.(x-1)=-9

x-1=2,25

x=3,25

Áp dụng BĐT Cauchy – Schwarz, ta được:

\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{a+c}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{b+c+a+c+a+b}\)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)

ミ★长 - ƔξŦ★彡vãi cả cauchy-schwarz cho bậc 3: \("\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{b+c+c+a+a+b}\)

Thiết nghĩ nên sửa đề \(a,b,c>0\) thôi chứ là gì có d? Mà nếu a >b >c > d > 0 thì liệu dấu = có xảy ra?

Áp dụng BĐT Cauchy-Scwarz ta có: \(LHS\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{1}{2}\)

=>x(4x²-8x+4)=0

x(4x²-4x-4x+4)=0

x[4x(x-4)-4(x-4)]=0

x.4.(x-4)(x-1)=0

=>x=0

    x=4

    x=1

Nguyễn Việt Quang sai rồi nha bạn. Thay x = 4 vào biểu thức xem có được = VP không?

\(4x^3-8x^2+4x=0\)

\(\Leftrightarrow4x^3-4x^2-4x^2+4x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^3-4x^2\right)-\left(4x^2-4x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2\left(x-1\right)-4x\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x^2-4x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\4x^2-4x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\4\left(x^2-x\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x^2-x=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=0\end{cases}}}\)

(x+1)(x+3)(x+4)(x+6)=7

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x+6\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-7=0.\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+7x+6\right)\left(x^2+7x+12\right)-7=0\)

Đặt \(t=x^2+7x+9\text{ Ta có:}\)

\(\left(t-3\right)\left(t+3\right)-7=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-9-7=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-4^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(t+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t-4=0\\t+4=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x^2+7x+9-4=0\\x^2+7x+9+4=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+7x-5=0\left(1\right)\\x^2+7x+13=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (1)

\(x^2+7x-5=0\)

Sử dụng biệt thức denta( lớp 9 kì 2 hok)

 \(b^2-4ac=7^2-4.1.-5=49+20=69\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{-7-\sqrt{69}}{2}\\x_2=\frac{-7+\sqrt{69}}{2}\end{cases}}\)

Giải (2)

\(x^2+7x+13=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2.x.\frac{7}{2}+\frac{7^2}{2^2}\right)+\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\left(\text{pt vô nghiệm}\right)\)

Vậy nghiêm....