1)  Áp dụng định lí Pitago vào \(\Delta ABC\)vuông tại \(A\), 

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow BC^2=12^2+16^2\)

\(\Rightarrow BC^2=144+256\)

\(\Rightarrow BC^2=400\)

\(\Rightarrow BC=20\)\(\left(cm\right)\)( VÌ \(BC>0\))

VẬY \(BC=20cm\)

áP DỤNG hệ thức lượng vào \(\Delta ABC\)vuông tại \(A\)đường cao \(AH\)ta có:

\(AB.AC=AH.BC\)

\(\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}\)

\(\Rightarrow AH=\frac{12.16}{20}=9,6\left(cm\right)\)

VẬY \(AH=9,6cm\)

2. áP DỤNG định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

\(\sin B=\frac{AC}{BC}\)\(\Rightarrow\sin B=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}\approx54^0\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=90^0-54^0=36^0\)

3. 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\)

\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+2b}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)}}\)

\(>\frac{9}{\sqrt{3\cdot3c^2}}=\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}=VP\)

\(A=\left(\sqrt{x}-\frac{x+2}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-4}{1-x}\right)\)  \(ĐKXĐ:x\ge0;x\ne1;x\ne4\)

\(A=\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-x-2}{\sqrt{x}+1}\right]:\left[\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}-4}{x-1}\right]\)

\(A=\frac{x+\sqrt{x}-x-2}{\sqrt{x}+1}:\left[\frac{x-\sqrt{x}+\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right]\)

\(A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}:\frac{x-4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}.\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\)

vậy \(A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\)

b)theo bài ra: \(A=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right).\sqrt{x}=\sqrt{x}+2\)

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{x}-\sqrt{x}-2=0\)

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}-2=0\)

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}-1+\sqrt{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}-1-\sqrt{3}=0\\\sqrt{x}-1+\sqrt{3}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=\sqrt{3}+1\\\sqrt{x}=1-\sqrt{3}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\\x=\left(1-\sqrt{3}\right)^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3+2\sqrt{3}+1\\x=3-2\sqrt{3}+1\end{cases}}\)

vậy......

dễ dàng cm DM=DB và CM=CA suy ra:DM/CM=DB/CA(1)

mặt khác tam giác ICA đòng dạng với tam giác IBD(g.g)

suy ra: CA/BD=IA/DI hayBD/CA=DI/IA(2)

từ  1 và 2 suy rA\(\frac{DM}{MC}\)=\(\frac{DI}{IA}\)\(\Leftrightarrow\frac{DM}{MC+DM}=\frac{DI}{IA+DI}\Leftrightarrow\frac{DM}{DC}=\frac{DI}{DA}\)

                                                        (Công thức này chắc ai cũng biết)

từ đó suy ra MI//AC(định lý talet đảo)

mà ACvuông góc AB suy ra MI vuong góc AC. đpcm

phần b lm thế nào vậy bn

\(\hept{\begin{cases}x^3+2y^2-4y+3=0\\x^2+x^2y^2-2y=0\end{cases}}\)

\(x^3+2y^2-4y+3=0\Leftrightarrow x^2+2\left(y^2-2+1\right)+1=0\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2=\frac{-1-x^3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{-1-x^3}{2}\ge0\Leftrightarrow x\ge-1\)

Để có nghiệm thì \(\Delta_y=4-4x^4\ge0\Leftrightarrow-1\le x\le1\)

Kết hợp với trên, ta có: x = -1, thế vào PT ban đầu, tính được y = 1

Vậy hệ của nghiệm là: \(\left(x,y\right)=\left(-1;1\right)\)

Trong OLM,số người học lớp 9 chơi phần mềm này rất ít!!Anh có thể vào Học24h để hỏi,ở đó còn có rất nhiều thầy cô giáo sẽ giúp anh!!

Áp dụng bđt AM - GM ta có :

\(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\)

\(\frac{2}{y}+2y=2\left(\frac{1}{y}+y\right)\ge2.2\sqrt{\frac{1}{y}.y}=4\)

Cộng vế với vế ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+x+2y\ge6\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)

Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge\frac{9}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)

:))