#)Trả lời :

\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{a+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)

Tách VT = A + B và xét :

\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3b}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)

\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\)\(\sum\)\(\left(1-\frac{b}{2}\right)\)

\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\)\(\sum\)\(ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)

( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1

Tham khảo nhé ^^

a)    \(x^2-2\sqrt{2}x+2\)

\(=\left(x-\sqrt{2}\right)^2\)

b)    \(x^2+2\sqrt{5}x+5\)

\(=\left(x+5\right)^2\)

Áp dụng bđt Cô-si có'

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{\frac{x+y}{2}}=\frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)(1)

Áp dụng bđt trên ta được

\(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2a+b+c}\right)^2\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2\)

Chứng minh tương tự rồi cộng các vế lại cho nhau ta được

\(A\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)^2\)

\(\Rightarrow16A\le\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)^2+\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)^2+\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)^2\)

               \(=\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{2}{\left(c+a\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{2}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)

Đặt \(\left(\frac{1}{a+b};\frac{1}{b+c};\frac{1}{c+a}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)

Khi đó \(16A\le2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx\)

Ta có bđt phụ sau : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)(tự chứng minh) (2)

Áp dụng ta được

\(16A\le4x^2+4y^2+4z^2=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4}{\left(c+a\right)^2}\)

\(\Rightarrow4A\le\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\)

Từ (1) \(\Rightarrow\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)(Bình phương 2 vế lên) 

Áp dụng bđt này ta được

\(4A\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\Rightarrow64A\le\frac{1}{a^2}+\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{bc}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ac}+\frac{1}{a^2}\)

\(\Rightarrow64A\le\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}\)

\(\Rightarrow32A\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

Áp dụng bđt (2) ta được \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

\(\Rightarrow32A\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=3+3=6\)

\(\Rightarrow A\le\frac{6}{32}=\frac{3}{16}\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c = 1

#)Em thấy có link này có cách giải ngắn gọn hơn nek :

https://h.vn/hoi-dap/tim-kiem?q=cho+c%C3%A1c+s%E1%BB%91+th%E1%BB%B1c+d%C6%B0%C6%A1ng+a,b,c+thay+%C4%91%E1%BB%95i+lu%C3%B4n+th%E1%BB%8Fa+m%C3%A3n+1/a2+++1/b2+++1/c2+=3.T%C3%ACm+Max+P+=+1/(2a+b+c)2++1(2b+a+c)2++1/(2c+a+b)2&id=394201

Ai cần link này ib e nhé ! e gửi cho chị #Diệp Song Thiên đã ^^

S = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 +.....+ 1/2187

S x 3 = 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 +........+ 1/729

S x 3 - S = ( 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 +........+ 1/729 ) - ( 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 +.....+ 1/2187 )

S x 3 - S = 3 - 1/2187

S x 3 - S = 6560/2187

S = 6560/2187 : 2

Vậy S = 6560/4374

tìm n nhỏ nhất nha

\(\frac{7}{n+9};\frac{8}{n+10};....;\frac{11}{n+13}\) tối giản

\(\Leftrightarrow\frac{n+9}{7};\frac{n+10}{8};\frac{n+11}{9};....;\frac{n+13}{11}\)tối giản

\(\Leftrightarrow\frac{n+2}{7};\frac{n+2}{8};......;\frac{n+2}{11}\)tối giản

nên n+2 là số nhỏ nhất nguyên tố cùng nhau với 7;8;...;11

nên: n+2 là số nguyên tố lớn nhất lớn hơn 11

=> n+2=13=> n=11

a) Ta có : \(\frac{7}{n+9}=\frac{7}{\left(n+2\right)+7}\). 

Để \(\frac{7}{\left(n+2\right)+7}\)tối giản thì 7 và ( n +2 ) nguyên tố cùng nhau

Tương tự ta  có : 8 và (n+2) NTCN

                            9 và(n+2) NTCN

                            10 và (n+2) NTCN

                             11 và (n+2) NTCN

Vậy để \(\frac{7}{n+9};\frac{8}{n+10};...\)tối giản thì : n + 2 phải NTCN với 7;8;9;10;11

Mà n nhỏ nhất nên n+2 là SNT nhỏ nhất > 1

Vậy n + 2= 13 => n = 11

#)Giải :

a)                       Sau hai ngày sửa đoạn đường còn lại là : 

                                       1 - 2/5 - 2/5 = 1/5 ( đoạn đường còn lại )

                          Đoạn đường đó dài số mét là :

                                       210 : 1/5 = 1050 ( m )

b)                       Đoạn đường sửa được trong hai ngày đầu là :

                                       1050 x 2/5 = 420 ( m )

                          Trong hai ngày đó sửa được số mét là :

                                       420 x 2 = 840 ( m ) 

                          Đoạn đường sửa được trong ngày thứ ba so với đoạn đường sửa được trong hai ngày đầu là :

                                       210 x 100 : 840 = 25%

                                                              Đ/số : a) 1050m

                                                                        b) 25%

a)

Ngày thứ 3 làm được số phần đường là:

\(1-\frac{2}{5}-\frac{2}{5}=\frac{1}{5}\)(phần)

Đoạn đường dài là:

\(210.5=1050\)(m)

b)

Ngày thứ nhất và ngày thứ 2 mỗi ngày làm được số m đường là:

\(210.2=420\left(m\right)\)

Đoạn đường ngày thứ 3 bằng số phần trăm ngày thứ nhất là:

\(\frac{210.100}{420}=50\%\)

ngày thứ 2 tương tự nha.

Cách của Kudo là phải mò ra dấu "=" là mới làm được nhé , vậy nếu không mò được thì sao ? 

Xét  \(2S=4x^2+18y^2-4xy+4x+4y\)

               \(=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+17y^2+4x+4y\)

               \(=\left[\left(2x-y\right)^2+2\left(2x-y\right)+1\right]+17y^2+6y-1\)

               \(=\left(2x-y+1\right)^2+17\left(y^2+\frac{6}{17}y+\frac{9}{289}\right)-\frac{26}{17}\)

                \(=\left(2x-y+1\right)^2+17\left(y+\frac{3}{17}\right)^2-\frac{26}{17}\ge-\frac{26}{17}\)

\(\Rightarrow S\ge-\frac{26}{17}\div2=-\frac{13}{17}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-y+1=0\\y+\frac{3}{17}=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-\frac{10}{17}\\y=-\frac{3}{17}\end{cases}}\)

Gọn gàng đẹp mắt =))

Cái thứ 2 là cộng hay trừ vậy bạn ?

cộng 

giúp mình nha

\(b,\)\(|x-3|-3x+6\)

\(\Rightarrow|x-3|=3x+6\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=-3x-6\\x-3=3x+6\end{cases}}\)

Nếu \(x-3=-3x-6\)

\(\Rightarrow4x=9\)

\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}\)

Nếu \(x-3=3x+6\)

\(\Rightarrow2x=-9\)

\(\Rightarrow x=\frac{-9}{2}\)

KL....

Trả lời

Đối với những bài này ta sẽ xét 2 TH

a,TH 1

2|x+1/2|+2x=3

2x+1/2         =3

    4x           =5/2

TH 2:

2|x+1/2|+2x=3-2

2x+1/2        =-5x

2x+1/2        =-1/2

          7x     =5/70

Mk ko chắc, đừng ném gạch nha.

Tại mk chỉ mới học dạng này thôi

Ta có : f(-1) = a. (-1)² + b(-1) + c = a - b + c

            f(2)  = a.2² + b.2 +c = 4a + 2b + c

Nên: f(-1) + f(2) = ( a - b + c ) + ( 4a + 2b + c )= 5a + b + 2c = 0

=> f(-1) = -f(2)

Do đó : f(-1) . f(2) =-f(2) . f(2) = -[f(2)]² \(\le\)0

Vậy....

#)Giải :

Ta có f(2) = 4a + 2b + c

          f(-1)= a - b + c

=> f(2) + f(-1) = 4a + 2b + c + a - b + c 

                       = 5a + b + 2c

Mà 5a + b + 2c = 0 => f(2) + f(-1) = 0 => f(2) = f(-1)

=> f(-1).f(2) ≤ 0 ( đpcm )