Câu hỏi của vũ văn tùng - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

gọi H là chân đường cao hạ từ A

ta có : \(AB^2+BC^2+CA^2=AH^2+BH^2+BC^2+AH^2+CH^2=2AH^2+\left(BH^2+CH^2\right)+BC^2\)

ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC : \(2\left(a^2+b^2\right)>\left(a+b\right)^2\)ta có:

\(2\left(BH^2+CH^2\right)\ge\left(BH+CH\right)^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow\left(BH^2+CH^2\right)\ge\frac{BC^2}{2}\)

\(\Rightarrow AB^2+BC^2+CA^2\ge2AH^2+BC^2+\frac{BC^2}{2}=2AH^2+\frac{3}{2}BC^2\)

ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY:\(2AH^2+\frac{3}{2}BC^2\ge2\sqrt{2AH^2\cdot\frac{3}{2}BC^2}=2\sqrt{3}AH\cdot BC=4\sqrt{3}S_{ABC}\)

Tham khảo:Cho phường trình x^2-(2m +3)x+m^2+2m+2=0. tìm m để pt trên có 2 nghiệm x1x2 thỏa x1=2x2?

Giải delta xác định m ta có phương trình cỉ có nghiệm khi m lớn hơn hoặc bằng -1/4 

Hệ thức Vi-et cho: 

x1 + x2 = 2m + 3 

x1*x2 = m^2 + 2m + 2 

Vì x1 = 2x2 
=> x1 + x2 = 2x2 + x2 = 3x2 = 2m + 3 (1) 
Và x1 * x2 = 2x2 * x2 = 2x2^2 = m^2 + 2m + 2 (2) 

Từ (1) ta có: 3x2 = 2m + 3 
<=> x2 = (2m + 3)/3 
<=> x2^2 = {(2m + 3)/3}^2 
<=> x2^2 = (4m^2 + 12m + 9) / 9 (3) 

Từ (2) ta có: 2X^2 = m^2 + 2m + 2 
<=> x2^2 = (m^2 + 2m + 2) / 2 (4) 

Từ (3) và (4) ta có phương trình: 

(4m^2 + 12m + 9) / 9 = (m^2 + 2m + 2) / 2 
<=> 8m^2 + 24m + 18 = 9m^2 + 18m + 18 
<=> m^2 - 6m = 0 
<=> m (m - 6) = 0 

<=> m = 0 (thoả) 
hoặc m = 6 (thoả) 

=> Khi m = 0 hoặc m = 6 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 và x1 = 2x2

\(P=\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\ge\frac{9}{3+ab+ac+bc}\ge\frac{9}{3+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

dựa vào BĐT nào để suy ra \(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\ge\frac{9}{3+ab+bc+ac}\)vậy bạn ??

Đk: $x\geq \frac{1}{2}$

Pt $\Leftrightarrow 4x^2+3x-7=4(\sqrt{x^3+3x^2}-2)+2(\sqrt{2x-1}-1)$

$\Leftrightarrow +4\frac{(x-1)(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+4\frac{x-1}{\sqrt{2x-1}+1}-(x-1)(4x+7)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)[\frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-(4x+7)]=0$

$\Leftrightarrow x=1\vee \frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-4x-7=0$ $(*)$

Xét hàm số $f(x)=\frac{4(x+2)^2}{\sqrt{x^3+3x^2}+2}+\frac{4}{\sqrt{2x-1}+1}-4x-7,x\in [\frac{1}{2};+\infty )$ thì $f(x)>0,\forall x\in [\frac{1}{2};+\infty )$

$\Rightarrow $ Pt $(*)$ vô nghiệm

2,Giải: 

♣ Ta thấy p = 2 thì 2p + 1 = 5 không thỏa = n³ 

♣ Nếu p > 2 => p lẻ (Do Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 ) 
Mặt khác : 2p + 1 là 1 số lẻ => n³ là một số lẻ => n là một số lẻ 

=> 2p + 1 = (2k + 1)³ ( với n = 2k + 1 ) 
<=> 2p + 1 = 8k³ + 12k² + 6k + 1 
<=> p = k(4k² + 6k + 3) 

=> p chia hết cho k 
=> k là ước số của số nguyên tố p. 

Do p là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = p 

♫ Khi k = 1 
=> p = (4.1² + 6.1 + 3) = 13 (nhận) 

♫ Khi k = p 
=> (4k² + 6k + 3) = (4p² + 6p + 3) = 1 
Do p > 2 => (4p² + 6p + 3) > 2 > 1 
=> không có giá trị p nào thỏa. 

Đáp số : p = 13