Sai ở giả thiết.

Ta có:

\(x^2+y^2\ge2xy\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+y^2}\le\frac{xy}{2xy}=\frac{1}{2}\left(xy\ne0\right)\)

\(\Rightarrow\frac{5}{8}\le\frac{1}{2}\)( vô lý)

k​udo shinichi    nếu x,y trái dấu thì \(\frac{xy}{x^2+y^2}\ge\frac{xy}{2xy}\) mà

Giả sử a=1;b=1 \(\Rightarrow\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{1}-\frac{1}{1}>2\)

\(\Rightarrow\) Đề sai.nếu đề là \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) thì:

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(*luôn đúng*)

Biết ngay là đề sai mà .

Để  \(\frac{2}{-4x^2+8x-5}\) lớn nhất thì \(-4x^2+8x-5\) phải bé nhất

Ta có: \(-4x^2+8x-5=-4x^2+8x-4-1=-4\left(x^2-2x+1\right)-1\)

\(=-4\left(x-1\right)^2-1\)

Vì : \(\left(x-1\right)^2\ge0\)=> \(-4\left(x-1\right)^2\le0\)=> \(-4\left(x-1\right)^2-1\le-1\)

=>  \(\frac{2}{-4x^2+8x-5}\ge\frac{2}{-1}=-2\)

Dấu "=" xảy ra <=> x - 1 = 0 <=> x = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\frac{2}{-4x^2+8x-5}\) là -2 tại x = 1.

\(x\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x^2-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\pm1\end{cases}}\)

Vậy \(x\in\left\{-1;0;1\right\}\)

\(x\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x^2-1=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\pm1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;\pm1\right\}\)