Khoa Bùi Phạm (Em làm thử)

\(\hept{\begin{cases}\left|x\right|+x+\left|y\right|+y=2000\left(1\right)\\\left|x\right|-x+\left|y\right|-y=k\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1)-(2) \(\Rightarrow2x+2y=2000-k\)

                \(\Rightarrow2\left(x+y\right)=2000-k\)

Vì hệ phương trình có đúng hai no phân biệt (x;y)=(a;b) và (x;y)=(c;d)

Nên \(2\left(x+y\right)=a+b+c+d\)

Vậy \(a+b+c+d=2000-k\)

P/s: k chắc lắm -.- . Nếu có lỗi sai mong thầy/cô và các bn chỉ ra giúp em. Cảm ơn!

                            Giải

Xét tứ giác ABCD có AB cắt CD tại F. E là giao điểm 2 đường chéo tứ giác. G,H thứ tự là trung điểm AC,BD

Ta cần chứng minh: \(S_{FGH}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\)

               \(S_{FGH}=S_{FAD}-S_{FAG}-S_{FDH}-S_{AGD}-S_{DGH}\)

              \(=S_{AFD}-\frac{1}{2}\left(S_{FAC}+S_{FBD}\right)-\frac{1}{2}S_{ACD}-\frac{1}{2}S_{DGB}\)

\(=S_{ACD}+S_{ABC}+S_{FBC}-\frac{1}{2}\left(S_{ABC}+S_{FBC}+S_{DBC}+S_{FBC}\right)-\frac{1}{2}S_{ACD}\)

\(-\frac{1}{2}\left(S_{ACD}+S_{ABC}-S_{ADG}-S_{ABG}-S_{DBC}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(S_{ADG}+S_{ABG}\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\left(S_{ACD}+S_{ABC}\right)=\frac{1}{4}S_{ABCD}\left(đpcm\right)\)

Giải

Xét tứ giác ABCD có AB cắt CD tại F. E là giao điểm 2 đường chéo tứ giác. G,H thứ tự là trung điểm AC,BD

Ta cần chứng minh: S_FGH=12 S_ABCD

               S_FGH=S_FAD−S_FAG−S_FDH−S_AGD−S_DGH

              =S_AFD−12 (S_FAC+S_FBD)−12 S_ACD−12 S_DGB

=S_ACD+S_ABC+S_FBC−12 (S_ABC+S_FBC+S_DBC+S_FBC)−12 S_ACD

−12 (S_ACD+S_ABC−S_ADG−S_ABG−S_DBC)

=12 (S_ADG+S_ABG)=12 .12 (S_ACD+S_ABC)=14 S_ABCD(đpcm)

a) Gọi O là giao điểm của  AC và BD

=> OA=OB=OC=OD ( ABCD là hình chữ nhật)

=> O LÀ tâm đường tròn

=> AC là đường kính

=> \(\widehat{AEC}=90^o\),\(\widehat{ABC}=90^o\)( Chắn cung AC)

=> \(\widehat{FEH}+\widehat{FBH}=180^o\)

=> Tứ giác EFHB nội tiếp

b)Từ a =>  \(\widehat{FHA}=\widehat{EBA}\)(1)

\(\widehat{EBA}=\widehat{EDA}\)( cùng chắn cung AE)(2)

Từ (1), (2)

=> điều phải chứng minh

c) Tam giác tiếp xúc với đường tròn ?

dang can cau c :D

Ta thấy ^AIN chắn nửa đường tròn đường kính AN => ^AIN = 90⁰ => ^AIN = ^NHB => Tứ giác BINH nội tiếp

=> ^IHN = ^IBN. Mà ^IBN = ^NBA = ^NAM nên ^IHN = ^NAM => IH // AM hay IC // AE (1)

Ta có: ^NAK = ^NIK, ^NBH = ^NIH => ^NAK + ^NBH = ^NIK + ^NIH = ^DIC

Lại có: ^NAK = ^NBA, ^NBH = ^NAB. Suy ra: ^NBA + ^NAB = ^DIC = 180⁰ - ^DNC => Tứ giác DICN nội tiếp

=> ^NDC = ^NIC = ^NBH = ^NAB => AB // CD hay CE // AI (2)

Từ (1),(2) => Tứ giác AECI là hình bình hành => CI = EA (đpcm).

Áp dụng bđt \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\) đc

\(S=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=2\)

Dấu "='' khi x = y = 1

Cách 1 :

từ x + y = 2 ta có : y = 2 - x . Do đó : \(S=x^2+\left(2-x\right)^2=2\left(x-1\right)^2+2\ge2\)

Vậy min \(S=2\Leftrightarrow x=y=1\)

Cách 2 : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x , c = 1 ; b = y ; d = 1 , ta có :

\(\left(x+y\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)\Leftrightarrow4\le2\left(x^2+y^2\right)=2S\Leftrightarrow S\ge2\Rightarrow minS=2\Leftrightarrow x=y=1\)

a) Xét \(\Delta MBD\)và \(\Delta MAC\)

có: \(\widehat{MAC}=\widehat{MBD}\)( cùng chắn cung MC)

\(\widehat{BMD}=\widehat{AMC}\)( cung AB=cung AC vì AB=AC)

=>  \(\Delta MBD\)~ \(\Delta MAC\)

b) Từ câu a)_

=> \(\frac{MB}{MA}=\frac{BD}{AC}\)(1)

\(\frac{MC}{MA}=\frac{MD}{MB}\)(2)

Dễ dàng chứng minh đc:

\(\Delta BDM~\Delta ADC\)

=> \(\frac{MD}{MB}=\frac{DC}{AC}\)(3)

Từ (1), (2), (3)

=> \(\frac{MB}{MA}+\frac{MC}{MA}=\frac{BD}{AC}+\frac{CD}{AC}=\frac{BC}{AC}\)\(=\frac{BC}{AB}\)

c) Lấy điểm E thuộc đoạn