d) Để PT(1) có 3 nghiệm thì PT (2) phải có 1 nghiệm dương t₁>0t₁>0 và 1 nghiệm là t₂=0t₂=0

Thay t=0t=0 vào (2) ⟹m=±1⟹m=±1

Rồi thay ngược vào (2) ta thấy: 

Với m=1⟺t=0m=1⟺t=0  v   t=1(t/m)

Với m=−1⟺t=0m=−1⟺t=0  v  t=−3 (ko t/m)

Vậy m=1 thì PT có 3 nghiệm.

\(VT=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}+\frac{\left(b+c\right)^2}{bc}+\frac{\left(c+a\right)^2}{ca}\ge\frac{4ab}{ab}+\frac{4bc}{bc}+\frac{4ca}{ca}=12\)

\(VP=9+2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}\right)\)

\(=9+2\left(\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+a}-3\right)\)

\(=9+2\left[\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+a}\right)-3\right]\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{b+a}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow VP\ge9+2\left[\left(a+b+c\right).\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3\right]=12\)

\(\Rightarrow VT-VP\ge12-12=0\)

\(\Rightarrow VT\ge VP\left(đpcm\right)\)

Dấu '=' xảy ra khi \(a=b=c\)

:))

\(VP\ge12\Rightarrow-VP\le-12\Rightarrow VT-VP?\) (có tới hai dấu lận ạ?)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si vào 2 số dương \(x^2,\frac{1}{x^2}\)ta có:
\(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2\)\(\left(1\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si vào hai số dương \(y^2,\frac{1}{y^2}\)ta có :

\(y^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{y^2.\frac{1}{y^2}}=2\)\(\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge4\)

\(\Rightarrow\)\(A_{min}=4\Leftrightarrow x=y=1\)

bạn ơi x+y<=1 mà bạn tìm ra x+y=2 rồi

\(M=\sqrt{x^2-4x+4}+2014\sqrt{x^2-6x+9}+\sqrt{x^2-10x+25}\)

\(M=\left|x-2\right|+2014\left|x-3\right|+\left|x-5\right|\)

\(M=\left|x-2\right|+\left|5-x\right|+2014\left|x-3\right|\)

\(M\ge\left|x-2+5-x\right|+2014\left|x-3\right|=3+2014\left|x-3\right|\ge3\)

\("="\Leftrightarrow x=3\)