Cho biểu thức M=\(\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}+\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x+3}}{2-\sqrt{x}}\)
a/ Tìm điều kiễn xác địch của x để M có nghĩa và rút gon M
b/ Tìm x để M bằng 5
c/ tìm x thuộc z để m thuộc z
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dat \(P=\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}\)
\(=\frac{a^6}{a^2b+ca^2}+\frac{b^6}{b^2c+ab^2}+\frac{c^6}{c^2a+bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\)
Ta di chung minh:
\(\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
Ta co BDT:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\)
\(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
Suy ra BDT da duoc chung minh
Dau '=' ra khi \(a=b=c\)
Dat P=\frac{a^4}{b+c}+\frac{b^4}{c+a}+\frac{c^4}{a+b}P=b+ca4+c+ab4+a+bc4
=\frac{a^6}{a^2b+ca^2}+\frac{b^6}{b^2c+ab^2}+\frac{c^6}{c^2a+bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}=a2b+ca2a6+b2c+ab2b6+c2a+bc2c6≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)(a3+b3+c3)2
Ta di chung minh:
\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{2}ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)(a3+b3+c3)2≥2a3+b3+c3
\Leftrightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)⇔2(a3+b3+c3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
Ta co BDT:
a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)a3+b3≥ab(a+b)
b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)b3+c3≥bc(b+c)
c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)c3+a3≥ca(c+a)
\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)⇒2(a3+b3+c3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)
Suy ra BDT da duoc chung minh
Dau '=' ra khi a=b=ca=b=c
PT <=> \(x^2-12+\left(x-4\right)\left(\sqrt{x^2+4}-4\right)=0\)
<=> \(x^2-12+\left(x-4\right).\frac{x^2-12}{\sqrt{x^2+4}+4}=0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}x^2-12=0\\1+\frac{x-4}{\sqrt{x^2+4}+4}=0\end{cases}}\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}x=\pm2\sqrt{3}\\x=-\sqrt{x^2+4}\left(VN\right)\end{cases}}\)
Vậy \(x=\pm2\sqrt{3}\)
IMO, 2001
Đặt \(x=\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\left(x;y;z\in\left(0;1\right)\right)\)
Để ý rằng \(\frac{a^2}{8bc}=\frac{x^2}{1-x^2};\frac{b^2}{8ac}=\frac{y^2}{1-y^2};\frac{c^2}{8ba}=\frac{z^2}{1-z^2}\)
=> \(\frac{1}{512}=\left(\frac{x^2}{1-x^2}\right)\left(\frac{y^2}{1-y^2}\right)\left(\frac{z^2}{1-z^2}\right)\)
Ta cần chứng minh \(x+y+z\ge1\)với \(x;y;z\in\left(0;1\right)\)và \(\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)=512\left(xyz\right)^2\left(1\right)\)
Giả sử ngược lại x+y+z<1
Theo BĐT AM-GM ta có:
\(\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)>\left[\left(x+y+z\right)^2-x^2\right]\left[\left(x+y+z\right)^2-y^2\right]\left[\left(x+y+z\right)^2-z^2\right]\)
\(=\left(x+x+y+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y+z+y\right)\left(z+x\right)\left(z+z+x+y\right)\left(x+y\right)\)
\(\ge4\left(x^2yz\right)^{\frac{1}{4}}\cdot2\left(yz\right)^{\frac{1}{2}}\cdot4\left(y^2zx\right)^{\frac{1}{4}}\cdot2\left(xz\right)^{\frac{1}{2}}\cdot4\left(z^2xy\right)^{\frac{1}{4}}\cdot2\left(xy\right)^{\frac{1}{2}}=512\left(xyz\right)^2\)
Điều này mâu thuẫn với (1)
Vậy điều phản chứng là sai và ta có đpcm
Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ đường cao AH. Lấy điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD=BC. CMR: sinA>=sinB.sinC
Ta có \(\frac{a.1-bc}{a.1+bc}==\frac{a^2+ac}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a}{a+b}\)
Từ đó \(\frac{a-bc}{a+bc}+\frac{b-ca}{b+ca}+\frac{c-ab}{c+ab}=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
\(=-\left(\frac{a}{c-1}+\frac{b}{a-1}+\frac{c}{b-1}\right)=-\left(\frac{a^2}{ca-a}+\frac{b^2}{ab-b}+\frac{c^2}{bc-c}\right)\)
\(\le-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca-\left(a+b+c\right)}=-\frac{1}{ab+bc+ca-1}\le-\frac{1}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-1}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}.\)