\(\left(y+2\right)x^{2017}-y^2-2y-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^{2017}=\frac{y^2+2y+1}{y+2}\)

\(\Leftrightarrow x^{2017}=y+\frac{1}{y+2}\)

Để vế phải là số nguyên thì y+2 phải là ước của 1

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y+2=-1\\y+2=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=-3\\y=-1\end{cases}}\)

TH1: \(y=-3\Rightarrow x^{2017}=-4\)

Ta thấy x không phải là số nguyên

TH2: \(y=-1\Rightarrow x^{2017}=0\Rightarrow x=0\)

Vậy phương trình có cặp nghiệm (x,y) nguyên thỏa mãn là (0;-1)

\(\left(x^2+2x\right)^2-2x^2-4x=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x\right)^2-2\left(x^2+2x\right)=4\)

Đặt \(x^2+2x=t\)

pt <=> \(t^2-2t=4\)

\(\Leftrightarrow t^2-2t-4=0\)

...

\(\left(x^2+2x\right)^2-2x^2-4x=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x\right)^2-2\left(x^2+2\right)=4\)

Đặt \(x^2+2x=a\)

\(\Rightarrow pt\Leftrightarrow a^2-2a=4\Leftrightarrow a^2-2a-4=0\)

\(\cdot\Delta=\left(-2\right)^2-4.\left(-4\right)=20,\sqrt{\Delta}=\sqrt{20}\)

Vậy pt ẩn phụ có 2 nghiệm phân biệt

\(a_1=\frac{2+\sqrt{20}}{2}=\sqrt{5}+1\);\(a_2=\frac{2-\sqrt{20}}{2}=1-\sqrt{5}\)

Thay vào \(x^2+2x=a\),dùng delta giải. 

S=4+2²+2³+...+2⁹⁸=2²+2²+2³+...+2⁹⁸=2.2²+2³+..+2⁹⁸=2³+2³+...+2⁹⁸=2⁹⁹

Ta thấy 2⁹⁹ không phải là số chính phương => S cũng không phải là số chính phương (đpcm)

\(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}=3\)

\(\Leftrightarrow|x-1|+|x-2|=3\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1-x+2-x=3\left(x\le1\right)\\x-1+2-x=3\left(1\le x\le2\right)\\x-1+x-2=3\left(x\ge2\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3-2x=3\Rightarrow x=0\left(n\right)\\0x+1=3\left(vn\right)\\2x-3=3\Rightarrow x=3\left(n\right)\end{cases}}\)

\(S=\left\{0;3\right\}\)

\(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|=3\)

* Nếu x < 1 thì \(pt\Leftrightarrow\left(1-x\right)+\left(2-x\right)=3\Leftrightarrow3-2x=3\)

\(\Leftrightarrow2x=0\Leftrightarrow x=0\left(TM\right)\)

* Nếu \(1\le x\le2\)thì \(pt\Leftrightarrow\left(x-1\right)+\left(2-x\right)=3\Leftrightarrow1=3\left(KTM\right)\)

* Nếu x > 2 thì \(pt\Leftrightarrow\left(x-1\right)+\left(x-2\right)=3\Leftrightarrow2x-3=3\Leftrightarrow x=3\left(TM\right)\)

Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt 0 và 3

Cac can thuc co nghia khi

a) \(x^2-2x+5\ge0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+4\ge0\)

Dieu nay luon dung nen can thuc co nghia voi moi gia tri cua x

b) \(\sqrt{\frac{x-4}{x-1}}co.nghia\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne1\\\left(x-4\right)\left(x-1\right)\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ne1\\x\ge4.hoac.x< 1\end{cases}}}\)

c) \(\sqrt{x^2-24}co.nghia\Leftrightarrow x^2\ge24\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge2\sqrt{6}\\x\le-2\sqrt{6}\end{cases}}\)

= \(\sqrt{12-2.2\sqrt{3}.5+25}-\sqrt{12+2.2\sqrt{3}.5+25}\)

= \(\sqrt{\left(2\sqrt{3}-5\right)^2}-\sqrt{\left(2\sqrt{3}+5\right)^2}\)

= \(|2\sqrt{3}-5|-2\sqrt{3}-5\)

=\(5-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-5=-4\sqrt{3}\)

bây giờ vẫn còn công chúa