Anh ơi em nghĩ phải lả \(+\frac{1}{x+y+z}\)thì mới đúng ạ

sửa đề \(M=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}+\frac{1}{x+y+z}\)

                                giải

Áp dụng bđt cô si cho 3 số dương \(x,y,z\)ta có:

\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\\y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\\z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2;\frac{y^2+1}{y}\ge2;\frac{z^2+1}{z}\ge2\)(1)

Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:

\(\left(x+y+z\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3^2\)

Mà \(x,y,z\)nguyên dương

\(\Rightarrow x+y+z\le3\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(2\right)\)

Lấy (1) + (2) ta được:

\(M\ge2+2+2+\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{19}{3}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

+ Nếu a là số nguyên tố lẻ -> a^b là số lẻ

=> a^b+ 2011 là số chẵn lớn hơn 2011

-> c là số chẵn lớn hơn 2011

mà c là số chẵn nguyên tố => c không tồn tại

Đ nếu a là số nguyên tố chẵn => a

Khi đó a^b+ 2011 (*)

Ta lại có b là nguyên tố => b= 2 hoặc b là số nguyên tố lẻ

. b=2 khi đó 2^b+ 2011=2²+ 2011

                                  = 2015 là hợp số

-> b=2 là KTM

. b là số nguyên tố lẻ => b=4k + 1; b=4k+ 3 ( K thuộc N*)

Với b=4k+1 

Ta có 2^b+ 2011= 2^4k+1+2011

=16^k. 2+ 2011

Ta thấy: 16=1(mod3)

=>16^k=1(mod3)

=>2.16^k=2(mod3)

mà 2011=1(mod3)

=>2:16^k+2011=3(mod3)

Tức là 2.16^k+2011:3

=>2.16^k+2011 là hợp số

Vậy b=4k+1(k thuộc N*) không TM

Với b=4k+3. Thay vào (*)

Ta có: 2^4k+3+2011

         = 2^4k.2³+2011

         = 16^k=1 (mod3)

mà 8.16^k=2 (mod3)

=> 8.16^k=2(mod3)

Mà 2011=1(mod3)

=>16^k.8+2011 là hợp số

Đề thi HSG Toán 9 Huyện Hoàng mia năm 2019-2020 đó 

ko dùng điều kiện :) 

\(sigma\sqrt{\frac{1+a^2}{b+c}}\ge sigma\frac{a+1}{\sqrt{2\left(b+c\right)}}\ge sigma\frac{2\left(a+1\right)}{b+c+2}=sigma\left(\frac{2a^2}{ab+ca+2a}+\frac{2}{b+c+2}\right)\)

\(\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(a+b+c\right)}+\frac{18}{2\left(a+b+c\right)+6}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\left(a+b+c\right)}+\frac{9}{a+b+c+3}=\frac{3\left(a+b+c\right)}{a+b+c+3}+\frac{9}{a+b+c+3}=3\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\le\left(\frac{a+b-c+b+c-a}{2}\right)^2=b^2\)Dấu "=" xảy ra khi\(a+b-c=b+c-a\Leftrightarrow a=c\)

\(\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\left(\frac{b+c-a+c+a-b}{2}\right)^2=c^2\)Dấu "=" xảy ra khi\(b+c-a=c+a-b\Leftrightarrow a=b\)

\(\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le\left(\frac{c+a-b+a+b-c}{2}\right)^2=a^2\)Dấu "=" xảy ra khi\(c+a-b=a+b-c\Leftrightarrow b=c\)

Nhân vế theo vế các BĐT trên, ta có:

\(a^2b^2c^2\ge\left(a+b-c\right)^2\left(b+c-a\right)^2\left(c+a-b\right)^2\)

\(\Rightarrowđfcm\)Dấu "=" khi a=b=c.