Huhu ai giúp mk vs ạ mình xin hậu tạ và cảm ơn😭

Tính OA:

\(BH=CH=\frac{BC}{2}=2\)

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}\)

\(\sin\widehat{ABH}=\frac{AH}{AB}\)

\(OA=R=\frac{AB}{2}\sin\widehat{ABH}=\frac{AB^2}{2AH}=\frac{64}{4\sqrt{15}}=16\sqrt{15}\)

Tính DE:

Vì: \(OC\perp BE\Rightarrow BC=CE=4\Rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{BAC}\) 

\(\Rightarrow\Delta BCD=\Delta ABC\) (g.g vì có chung \(\widehat{C}\))

\(\Rightarrow BD=BC=4\)

\(\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow CD=\frac{BC}{2}=2\Rightarrow AD=AC-CD=6\)

Mặt khác: \(BD.DE=AD.CD\Rightarrow DE=AD.\frac{CD}{BD}=6.\frac{2}{4}=3\)

Tính OD:

Ta có \(\cos\widehat{OAD}=\frac{AH}{AC}=\frac{2\sqrt{15}}{8}=\frac{\sqrt{15}}{4}\)

Áp đụng định lí hàm số  cosin vào \(\Delta OAD\)

\(OD^2=OA^2+AD^2-2OA.AD.\cos\widehat{OAD}\)

\(=\frac{16^2}{15}+6^2-2.\frac{16}{\sqrt{15}}.6.\frac{\sqrt{15}}{4}\)

\(=\frac{256}{15}+36-48=\frac{76}{15}\)

\(\Rightarrow OD=2\sqrt{\frac{19}{15}}\)

_{(Hình ảnh chỉ mang tính chất minh họa và hình hơi xấu thông cảm :D  mới thử làm dạng này nên sai chỗ nào thì bỏ qua nha)}

* Hình vẽ nhìn nó không cân lắm nên bạn chỉnh lại ạ

- Gọi AH là đường cao của tam giác ABC , => H là trung điểm của BC

- Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác AHB vuông tại H , ta có :

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{AB.AC.BC}{4R}=\frac{AB.AC.BC}{4.OA}\)

\(\Rightarrow OA=\frac{AB.AC.BC}{4.S_{ABC}}=\frac{16\sqrt{15}}{15}\left(cm\right)\)

- Gọi S là giao điểm của BE và OC , T là trung điểm của AC \(\Rightarrow OT\perp AC\)

- Các tứ giác BOSH , OTDS nội tiếp nên :

\(CH.CB=CD.CT\left(=CS.CO\right)=8\Rightarrow CD=\frac{8}{CT}=2\left(cm\right)\)

=> D là trung điểm của CT và AD = 6cm

Vậy : \(BC^2=CD.CA\left(=16cm\right)\)nên \(\Delta ABC~\Delta BCD\left(c-g-c\right)\)nên tam giác BCD cũng cân tại B => BC = BD = 4cm

Ta lại có : \(\Delta DBC~\Delta DAE\left(g-g\right)\Rightarrow BD.DE=CD.AD\Rightarrow DE=\frac{12}{AD}=3\left(cm\right)\)

- Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác OSE vuông tại S , ta có :

\(OS=\sqrt{OE^2-SE^2}=\frac{17\sqrt{15}}{30}\left(cm\right)\)

- Áp dụng định lí Py - ta - go cho tam giác vuông OSD vuông tại S , ta có :

\(OD=\sqrt{SD^2+OS^2}=\frac{2\sqrt{285}}{15}\left(cm\right)\)

Vậy : DE = 3cm ; \(OA=\frac{16\sqrt{15}}{30}\left(cm\right);OD=\frac{2\sqrt{285}}{15}\left(cm\right)\)

ai giỏi số học giúp mik với  , mai mình phải nộp thầy rồi ;(

am,fma

câu này dễ lắm đấy

Đặt BĐT cần c/m là A

Dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số không âm:

\(\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}.\frac{a+b}{8}.\frac{a+c}{8}}=\frac{3a}{4}\)

\(\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}.\frac{b+c}{8}.\frac{b+a}{8}}=\frac{3b}{4}\)

\(\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}.\frac{c+a}{8}.\frac{c+b}{8}}=\frac{3c}{4}\)

Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được:

\(A+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{4}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))

Gọi độ dài quãng đường \(AB\) là: \(a\left(km\right)\left(a>0\right)\)

Gọi thời gian dự định ban đầu là:\(b\left(h\right)\left(b>0\right)\)

Ta có: \(10b=a\)

\(\Rightarrow10b-a=0\)

Người đó đi được nửa đường thì hết số thời gian:

\(\frac{0,5a}{10}=0,05a\)

Còn lại số thời gian:

\(b-0,05a-0,5\)

\(\Rightarrow15\left(b-0,05a-0,5\right)=0,5a\)

\(\Rightarrow15b-1,25a=7,5\)

Từ đó ta có hệ phương trình sau:

\(10b-a=0\)

\(\Leftrightarrow15b-1,25a=7,5\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=30\\b=3\end{cases}}\)

Vậy \(s_{AB}=30km\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\).

Đặt \(a+b=2x;a-b=2y\) thì \(x,y\ge0\) và \(a=x+y;b=x-y\) (1)

 Theo đề bài: \(2x+2=4y^2\Rightarrow x=2y^2-1\ge0\)(*). Thay vào (1) thu được: \(a=2y^2+y-1;b=2y^2-y-1\) 

Vì \(b\ge0\Rightarrow2y^2-y-1\ge0\) (do trên) (**)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(2y+1\right)\ge0\Leftrightarrow y\ge1\)

Vậy ta cần chứng minh:\(\left[1+\frac{\left(2y^2+y-1\right)^3}{\left(2y^2-y\right)^3}\right]\left[1+\frac{\left(2y^2-y-1\right)^3}{\left(2y^2+y\right)^3}\right]\le9\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(1-y\right)\left(y+1\right)\left(5y^4+2y^2-1\right)}{y^6}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left(5y^4+2y^2-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-y\right)\left[\frac{1}{4}\left(2y^2-1\right)\left(10y^2+9\right)+\frac{5}{4}\right]\le0\)

Cái ngoặc vuông > 0 (do (*) ). Nên ta chỉ cần chứng minh: \(1-y\le0\Leftrightarrow y\ge1\)(hiển nhiên đúng theo (**) )

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b\right)=\left\{\left(2;0\right),\left(0;2\right)\right\}\)

Dành cho ai không muốn giả sử:

Nếu không muốn giả sử thì mọi người có thể xét hai trường hợp!

+) Nếu \(a\ge b\) thì giải như trên.

+) Nếu \(a\le b\). Đặt \(a+b=2x;b-a=2y\Rightarrow b=x+y;a=x-y\)

Cách giải tương tự.