n^3+23n=n(n^2+23)=n(n^2-1)+24n

                                 =(n-1)n(n+1)+24n

Vi (n-1)n(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của 2, 1 bội của 3.

Mà (2,3)=1

Suy ra (n-1)n(n+1) chia hết cho 2*3=6

Mà 24n chia hết cho 6 ( do 24 chia hết cho 6)

Suy ra đccm

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\))

Vì (n-1)n(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 bội của, 1 bội của 3

Mà ƯC(2,3)=1

Suy ra n^3-n chia hết cho 2*3=6

Ta có \(n^3-n=n.\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)

Vì \(n-1;n;n+1\)là 3 số nguyên liên tiếp 

Suy ra \(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\)chia hết cho 3

Mặt khác\(n-1;n;n+1\)là 3 số nguyên liên tiếp suy ra có ít nhất một số chẵn

Do đó \(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)⋮2\)

Vì \(\text{Ư}CLN\left(2;3\right)=1\)suy ra \(\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)⋮6\)

Khi đó \(n^3-n⋮6\)

Vậy....

Ta có : \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)

        \(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zy\right)=x^2+y^2+z^2\)

        \(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)=0\)

        \(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)

        \(\Rightarrow\frac{xy}{xyz}+\frac{yz}{xyz}+\frac{zx}{xyz}=0\)( Chia 2 vế cho xyz )

        \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

        \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)

Ta lại có : \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^3-\left(\frac{3}{x^2y}+\frac{3}{xy^2}\right)+\frac{1}{z^3}\)

               \(=\left(-\frac{1}{z}\right)^3-\frac{3}{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{1}{z^3}\)

                \(=-\frac{3}{xy}\cdot-\frac{1}{z}\)\(=\frac{3}{xyz}\)

                 \(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)         ( đpcm )

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

Ta lại co:

\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}-\frac{3}{xyz}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{1}{xy}-\frac{1}{yz}-\frac{1}{zx}\right)=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)

a, x^4+x^3+x+1

=(x^4+x^3)+(x+1)

=x^3(x+1)+(x+1)

=(x+1)(x^3+1)

=(x+1)^2(x^2+x+1)

b,x^4-x^3-x^2+1

=(x^4-x^3)-(x^2-1)

=x^3(x-1)-(x-1)(x+1)

=(x-1)(x^3-x+1)

a) Biến đổi biểu thức ban đầu tương đương: 

4abc > a[ a² - (b-c)²] +b[b² - (a-c)²] +c[c² - (a-b)²] 

<=> 4abc > a(a+b-c)(a+c-b) + b(b+c-a)(b+a-c) + c(c+b-a)(c+a-b) 

Đến đây thì đặt ẩn phụ kiểu quen thuộc rồi ;) 

Đặt a+b-c = x ; b+c-a =y ; c+a-b =z (x,y,z > 0 ) Thì a= (x +z)/2 ; b= (x+y/2) ; c= (y+z)/2 

Biểu thức trở thành: 

(x+y)(y+z)(z+x) > (x+z)xz + (x+y)xy + (y+z)yz 

Đơn giản rồi ; biểu thức này tương đương 2xyz > 0 (đúng với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ;) 

*Mở rộng thêm: Còn chứng minh được a^3 +b^3 +c^3 +3abc >= a²(b+c) +b²(a+c) +c²(b+a) > a^3 +b^3 +c^3 +2abc với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác ;)

1a : x = -1

2a : x = 10

còn mấy bài khác mình không biết giải nha