gọi số công nhân ban đầu là x
số lượng sản phẩm mỗi người phải làm là 120/x 
sau đó 2 công nhân được điều đi làm việc khác và mỗi công nhân phải làm thêm 16 sp
=> (x-2)(120/x+16) = 120

<=> 16x² - 32x - 240 = 0 ( tự giải đi nhé, mình không có máy tính :> )
 

từ pt 1 => x=1 / (1/2-1/b)
Thay giá trị x vào phương trinh 2 ta tìm được y.
Gán giá trị của y vào bất kỳ pt nào ta tìm được x.

đặt 1 phần x=a đặt 1 phần y=b rồi ta có hpt a+b=1 phần 2

                                                                a+0,5b=1 phần 3

giải hpt ra rồi thay vào cái đã đặt. Good luck!

m=-3

x=1

* Với \(m=-2\) thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất một ẩn và chỉ có một nghệm duy nhất

* Với \(m\ne-2\) thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.

\(\Delta'=m^2-\left(m+2\right)\times1=m^2-m-2\)

TH1: \(\Delta'< 0\Leftrightarrow m^2-m-2< 0\Leftrightarrow-1< m< 2\) thì phương vô nghiệm

TH2: \(\Delta'=0\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2\end{matrix}\right.\) thì phương trình có nghiệm kép

 TH3: \(\Delta'>0\Leftrightarrow m^2-m-2>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-\infty\le m< -1\\2< m\le+\infty\end{matrix}\right.\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Vậy: Với \(m=-2\) thì phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất

               \(-1< m< 2\) thì phương trình đã cho vô nghiệm

               \(m=-1\) hoặc \(m=2\) thì phương trình đã cho có nghiệm kép

               \(-\infty\le m< -1\) và \(m\ne-2\)hoặc \(2< m\le+\infty\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

b) Ta có \(\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)=0\)(*)

\(\Leftrightarrow3x^2-2\left(a+b+c\right)x+ab+bc+ca=0\)là phương trình bậc 2 

\(\Delta'=\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

vậy phương trình (*) luôn có nghiệm

c) Xét \(\Delta=\left(a+b\right)^2+8\left(a^2-ab+b^2\right)\)

Xét \(\left(a+b\right)^2\ge0\)

\(8\left[\left(a^2-2a+\frac{1}{2}b+\frac{b^2}{4}\right)+\frac{3b^2}{4}\right]=8\left[\left(a-\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right]>0\forall a,b\)

\(\Delta>0\forall a,b\)=> phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi a,b (đpcm)

*em thấy câu a) và b) same same nhau

@Linh: Câu c) bạn chỉ cần xét tích \(-2\left(a^2-ab+b^2\right).1< 0\) chứ không cần tính hẳn \(\Delta\) ra cũng được.

( m + 1 )x² - 2x + ( m - 1 ) = 0

ĐKXĐ : m khác -1

Để phương trình có nghiệm thì Δ ≥ 0

=> ( -2 )² - 4( m + 1 )( m - 1 ) = 0

<=> 4 - 4( m² - 1 ) = 0

<=> 4 - 4m² + 4 = 0

<=> -4m² + 8 = 0

<=> m² - 2 = 0

<=> ( m - √2 )( m + √2 ) = 0

<=> m = ±√2

Vậy với m = ±√2 thì phương trình có nghiệm 

TH1: a=0 ⇔ (m+1) = 0 ⇔ m = -1. Khi đó phương trình đã cho là:

-2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

TH2: a ≠ 0 ⇔ m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi △' ≥ 0

⇔ 1 - (m+1)(m-1) ≥ 0 ⇔ -m² + 2 ≥ 0 ⇔ \(-\sqrt{2}\le m\le\sqrt{2}\)

KL: Kết hợp cả hai trường hợp ta được: \(-\sqrt{2}\le m\le\sqrt{2}\)

m( m - 2 )x² - 2mx + 3 = 0

ĐKXĐ : m ≠ 0 hoặc m ≠ 2

Để phương trình vô nghiệm thì Δ < 0

tức là ( -2m )² - 12m( m - 2 ) < 0

<=> 4m² - 12m² + 24m < 0

<=> -8m² + 24m < 0

<=> m² - 3m < 0

<=> m( m - 3 ) < 0

Xét hai trường hợp :

1) \(\hept{\begin{cases}m>0\\m-3< 0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m>0\\m< 3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}0< m< 3\\m\ne2\end{cases}}\)

2) \(\hept{\begin{cases}m< 0\\m-3>0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m< 0\\m>3\end{cases}}\)( loại )

Vậy với \(\hept{\begin{cases}0< m< 3\\m\ne2\end{cases}}\)thì phương trình vô nghiệm

phương trình vô nghiệm

( m + 1 )x² - 2mx + ( m + 2 ) = 0

ĐKXĐ : m khác -1

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ > 0

tức là ( -2m )² - 4( m + 1 )( m + 2 ) > 0

<=> 4m² - 4( m² + 3m + 2 ) > 0

<=> 4m² - 4m² - 12m - 8 > 0

<=> -12m > 8

<=> m < -2/3

Vậy với m < -2/3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 

(m+1)x^2-2mx+(m+2) = 0(m+1)x²2−2mx+(m+2)=0  (Đk :m≠-1)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì Δ>0

<=> (-2m)² -4(m+1)(m+2) >0

<=> 4m²-4(m² +3m+2)    >0

<=> 4m² -4m² -12m -8 >0

<=> -12m>8

<=> m<-2/3

vậy với m<-2/3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

( m + 2 )x² + 6mx + 4m + 1 = 0

ĐKXĐ : m ≠ -2

Để phương trình có nghiệm kép thì Δ = 0

tức là ( 6m )² - 4( m + 2 )( 4m + 1 ) = 0

<=> 36m² - 4( 4m² + 9m + 2 ) = 0

<=> 36m² - 16m² - 36m - 8 = 0

<=> 20m² - 36m - 8 = 0

<=> 5m² - 9m - 2 = 0

<=> 5m² - 10m + m - 2 = 0

<=> 5m( m - 2 ) + ( m - 2 ) = 0

<=> ( m - 2 )( 5m + 1 ) = 0

<=> m = 2 ( tm ) hoặc m = -1/5 ( tm )

Vậy với m = 2 hoặc m = -1/5 thì phương trình có nghiệm kép

m=2 ; m= -1/5