\(ĐKXĐ:1\le x\le9\)

Đặt \(A=\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}\)

\(A^2=\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}\right)^2\)

\(A^2=x-1+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(9-x\right)}+9-x\)

\(A^2\ge8+\left(x-1\right)+\left(9-x\right)=8+8=16\)(1)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x-1=9-x\Leftrightarrow x=5\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow Max_{A^2}=16\Leftrightarrow Max_A=4\Leftrightarrow x=5\)

Sửa cho mình dấu \(\ge\)thành \(\le\)nhé !

giải hpt: \(\hept{\begin{cases}x^2+2y-4x=0\\4x^2-4xy^2+y^4-2y+4=0\end{cases}}\)

Cộng hai vế lại với nhau ta có: 

\(4x^2-4xy^2+y^4+x^2-4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-y^2=0\\x-2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y^2=4\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2;y=2\left(tm\right)\\x=2;y=-2\end{cases}}\)

Thay x,y vào pt và tính

=> x=2 và y=2 thỏa mãn 

=>(x;y)=(2;2) (t/m)

@Linh: Làm nhầm rồi 

HPT\(\hept{\begin{cases}x^2+2y-4x=0\\4x^2-4xy^2+y^4-2y+4=0\end{cases}}\)

Cộng vế với vế của hai phương trình, ta được:

\(HPT\Leftrightarrow5x^2-4xy^2+y^2-4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-4xy^2+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-y=0\\x-2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2;4\right)\)
 

Không mất tính tổng quát giả sử \(z=min\left(x;y;z\right)\)

Từ giả thiết x+y+z=3 => \(3z\le x+y+z\)Do đó \(0\le z\le1\)

Đặt x=1+a; y=1+b; c=1-a-b. Do 0 =<c=<1 nên 0 =< a+b =< 1

Ta có \(\left(x-1\right)^3+\left(y-1\right)^3+\left(z-1\right)^3=a^3+b^3+\left(-a-b\right)^3=-3ab\left(a+b\right)\)

Mặt khác \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\left(0\le a+b\le1\right)\)

\(\Rightarrow-3ab\left(a+b\right)\ge\frac{-3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Khi đó \(x=y=\frac{3}{2};z=0\)

\(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}&2x-\frac{3}{y}=-\frac{7}{2}&\end{cases}đk:xy\ne0}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x+\frac{3}{y}=-\frac{3}{2}\\2x-\frac{3}{y}=-\frac{7}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5x=-5\\x+\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\-1+\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=2\left(tmđk\right)\end{cases}}\)

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất là: (x;y)=(-1;2)

Đặt: \(\frac{1}{y}=t\) ta có hệ: 

\(\hept{\begin{cases}x+t=-\frac{1}{2}\\2x-3t=-\frac{7}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\t=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Với t = 1/2 => 1/y = 1/2 <=> y = 2

Vậy x = - 1; y = 2

do mình không để ý nên khi up câu trả lời lên bị cắt mất hơn 1 nửa , và đây là phần bổ sung 
 
 => thời gian đi trên quãng đường còn lại của người thứ hai là: \(\frac{60-x}{x+4}\)km / h
Do cả 2 người cùng đến điểm B 1 lúc nên ta có phương tình theo bài ra như sau : 
\(\frac{60-x}{x}\)= \(\frac{60-x}{x+4}+\frac{1}{3}\)
<=> ( 60-x ) ( \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}\)) =\(\frac{1}{3}\)
<=> ( 60 - x ) ( \(\frac{4}{x\left(x+4\right)}\)=\(\frac{1}{3}\)
<=> 3.4.(60-x) = x(x+4)
<=> 720x - 12x = \(x^2\)-8x
<=> \(x^2\)-16x + 720 = 0
=> \(\hept{\begin{cases}x=20\\x=-36\end{cases}}\)vì điều kiện x>0  = > x= -36 loại
Vậy vận tốc của 2 người khi khởi hành là 20km/h

Gọi vận tốc đi lúc đầu của mỗi người là  x ( km/h)       (x>0)
Sau 1 giờ, quãng đường còn lại của mỗi người là 60-x ( km )
=> Thời gian đi trên quãng đường còn lại của người thứ hai là \(\frac{60-x}{x}\)(h)
Vận tốc đi trên quãng đường còn lại của người thứ nhất là : x+4 ( km/h )

Đặt \(a=x^3;b=y^3;c=z^3\)

\(BĐT\Leftrightarrow\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3+z^3}}+\sqrt[3]{\frac{y^3}{z^3+x^3}}+\sqrt[3]{\frac{z^3}{x^3+y^3}}\)

Ta đi chứng minh : \(\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3+z^3}}\ge\sqrt{\frac{x^2}{y^2+z^2}}\)

\(\Leftrightarrow y^2z^2\left[\left(y-z\right)^2+2\left(y^2+z^2\right)\right]\ge0\) ( luôn đúng )

Nếu trong 3 số x; y; z có 1 số bằng 0 thì \(VT=\sqrt[3]{\frac{y^3}{z^3}}+\sqrt[3]{\frac{z^3}{y^3}}\ge2\) theo AM - GM

Nếu cả 3 số x; y; z đều dương thì theo AM - GM ta dễ có:

\(LHS=\Sigma\sqrt{\frac{x^2}{y^2+z^2}}=\Sigma\frac{x^2}{\sqrt{x^2\left(y^2+z^2\right)}}\ge\Sigma\frac{2x^2}{x^2+y^2+z^2}=2\)

Vậy ta có đpcm

hoặc bạn có thể xem cách khác tại đây,vào TKHĐ của mình để xem hình ảnh nhé !

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2-3\right)=m^2+2m+1-m^2+3=2m+4\)

Để phương trình có nghiệm kép <=> \(\Delta'=2m+4=0\)

<=> m = - 2

Vậy...