Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)

ta có: \(\Delta_1+\Delta_2=a^2-b+b^2-a=\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\)

\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}-\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\)

Vì \(a+b\ge2\) nên \(\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\ge0\)

=> \(\Delta_1+\Delta_2\ge0\)

=> Trong 2 số \(\Delta_1;\Delta_2\) có ít nhất 1 số không âm 

=> Trong hai phương trình: \(\left(x^2+2ax+b\right);\left(x^2+2bx+a\right)\) có ít nhất 1 phương trình có nghiệm 

=> \(\left(x^2+2ax+b\right)\left(x^2+2bx+a\right)\) luôn có nghiệm 

Trình bày khác cô Chi chút ạ =))

Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)

Ta có:\(\Delta_1+\Delta_2=a^2-a+b^2-b\ge a^2-a+b^2-b+2-a-b\)

\(=a^2-2a+1+b^2-2b+1=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Khi đó ít nhất một trong \(\Delta_1;\Delta_2\) có nghiệm => đpcm

\(\Delta\)\(=\left(2m+3\right)^2-4\left(3m+1\right)=4m^2+5\)> 0 

=> phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 

Điều kiện là \(\Delta\) là số chính phương

=> Đặt: \(t^2=4m^2+5\Leftrightarrow\left(t-2m\right)\left(t+2m\right)=5\)

Vì t và m là số nguyên 

=> Giải ra được: m = 1 hoặc m  = - 1

+) Với m = 1 ta có: \(x^2-5x+4=0\)  có nghiệm nguyên: x = 4; x = 1=> m = 1thỏa mãn

+) Với m = -1 ta có:  \(x^2-x-2=0\) có nghiệm nguyên => m = - 1 thỏa mãn 

Kết luận:...

Em cảm ơn cô =)

\(A=\frac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{abc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{abc}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{abc}{c^2\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{bc}{ab+ac}+\frac{ac}{bc+ba}+\frac{ab}{ac+bc}\)

Đặt: \(ab=x;bc=y;ac=z\)=> xyz = 1; x,y,z>0

\(A=\frac{y}{x+z}+\frac{z}{y+x}+\frac{x}{z+y}=\frac{y^2}{xy+yz}+\frac{z^2}{yz+xz}+\frac{x^2}{zx+xy}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+xz+xz\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z= 1 => a = b = c = 1

Vậy gtnn của A = 3/2 tại  a = b = c = 1

Gọi vận tốc của xe thứ 1 là x ( km/h , x > 0 )

=> Vận tốc xe thứ 2 = x - 4 km/h

Thời gian đi của xe thứ 1 = 140/x giờ 

Thời gian đi của xe thứ 2 = 140/x-4 giờ 

Xe thứ 1 đến trước xe thứ 2 10 phút = 1/6 giờ 

=> Ta có phương trình : \(\frac{140}{x-4}-\frac{140}{x}=\frac{1}{6}\)( đkxđ : \(x\ne0;x\ne4\))

                            <=> \(\frac{140x\cdot6}{6x\left(x-4\right)}-\frac{140\cdot6\left(x-4\right)}{6x\left(x-4\right)}=\frac{1x\left(x-4\right)}{6x\left(x-4\right)}\)

                            <=> \(840x-840x+3360=x^2-4x\)

                            <=> \(3360=x^2-4x\)

                            <=> \(x^2-4x-3360=0\)

                            <=> \(\left(x-60\right)\left(x+56\right)=0\)

                            <=> \(\orbr{\begin{cases}x-60=0\\x+56=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=60\\x=-56\end{cases}}}\)

Vì x > 0 => x = 60

=> Vận tốc xe thứ 1 = 60km/h

Vận tốc xe thứ 2 = 60 - 4 = 56km/h

\(ĐKXĐ:1\le x\le9\)

Đặt \(A=\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}\)

\(A^2=\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{9-x}\right)^2\)

\(A^2=x-1+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(9-x\right)}+9-x\)

\(A^2\ge8+\left(x-1\right)+\left(9-x\right)=8+8=16\)(1)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x-1=9-x\Leftrightarrow x=5\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow Max_{A^2}=16\Leftrightarrow Max_A=4\Leftrightarrow x=5\)

Sửa cho mình dấu \(\ge\)thành \(\le\)nhé !