\(x>y\),\(xy=1\)

Ta có:

\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(x-y+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)(đpcm)

Chúc bạn học tốt 

\(ĐKXĐ:x\ge\frac{5}{3}\)

\(\left(\sqrt{8x+1}-5\right)+\left(\sqrt{3x-5}-2\right)=\left(\sqrt{7x+4}-5\right)+\left(\sqrt{2x-2}-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{8x+1-25}{\sqrt{8x+1}+5}+\frac{3x-5-4}{\sqrt{3x-5}+2}-\frac{7x+4-25}{\sqrt{7x+4}+5}-\frac{2x-2-4}{\sqrt{2x-2}+2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left[\frac{8}{\sqrt{8x+1}+5}+\frac{3}{\sqrt{3x-5}+2}-\frac{7}{\sqrt{7x+4}+5}-\frac{2}{\sqrt{2x-2}+2}\right]=0\)

Ngoặc trong chắc vô nghiệm :3

\(\sqrt{x+5}+\sqrt{2-x}=x^2+25\)ạ, mình viết thiếu

Ta có : \(a+\frac{1}{b}\le1\Leftrightarrow\frac{ab+1}{b}\le1\Rightarrow ab+1\le b\)  ( vì a ; b > 0 ) 

Mặt khác : \(2\sqrt{ab}\le ab+1\) ( BĐT Cô - si ) 

Suy ra : \(b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\sqrt{b}\ge2\sqrt{a}\Leftrightarrow\frac{b}{a}\ge4\)

Đặt b/a = t ( t >= 4 ) , ta có : \(A=\frac{1}{t}+t=\frac{1}{t}+\frac{t}{16}+\frac{15}{16}t\)

Đến đây bn làm nốt 

Bài 2 : 

Tìm min : Bình phương 

Tìm max : Dùng B.C.S ( bunhiacopxki )

Bài 3 : Dùng B.C.S

KP9

nói thế thì đừng làm cho nhanh bạn ạ

Người ta cũng có chút tôn trọng lẫn nhau nhé đừng có vì dăm ba cái tích 

Đặt: 

x = a + c - b ; y = a + b - c ; z = b + c - a > 0 vì a; b ; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác 

=> x + y + z = a + b + c 

=> a = \(\frac{x+y}{2}\); b = \(\frac{y+z}{2}\); c = \(\frac{x+z}{2}\)

=> 3a - b + c = 2 a + ( a - b + c ) =  ( x  + y ) + x = 2x + y 

Tương tự: 3b - c + a = 2y + z ; 3c - a + b =  x + 2z

Đưa về bài toán: Chứng minh: 

\(\frac{x+y}{2\left(2x+y\right)}+\frac{y+z}{2\left(2y+z\right)}+\frac{z+x}{2\left(2z+x\right)}\ge1\)

<=> \(\frac{2x+2y}{2x+y}+\frac{2y+2z}{2y+z}+\frac{2z+2x}{2z+x}\ge4\)(1)

Ta có: VT = \(1+\frac{y}{2x+y}+1+\frac{z}{2y+z}+1+\frac{x}{2z+x}\)

\(=3+\left(\frac{y}{2x+y}+\frac{z}{2y+z}+\frac{x}{2z+x}\right)\)

\(=3+\left(\frac{y^2}{2xy+y^2}+\frac{z^2}{2yz+z^2}+\frac{x^2}{2zx+x^2}\right)\)

\(\ge3+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=3+1=4\)

=> (1) đúng 

=> Bất đẳng thức ban đầu đúng

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z <=>  a = b = c

huyen

Áp dụng BĐT AM-GM dạng cộng mẫu thức :\(LHS\ge a+b+c\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

Nên bài toán của chúng ta cần chứng minh tương đương với :

\(\frac{4\left(a-b\right)^2}{a+b+c}\le0\)\(< =>4\left(a-b\right)^2\le0\)

Vậy dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

ĐKXĐ : \(y\ge0\) 

P/t (1) \(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-\left(x-y\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-1=0\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\pm1\\x=y\end{cases}}\)

Xét : \(x=\pm1\) . Với x = 1 và với x = -1 thay vào p/t (2) tìm y rồi đối chiếu ĐK

Xét : \(x=y\) Mà \(y\ge0\) nên \(x\ge0\Rightarrow\left|x\right|=x\)

Khi đó , p/t (2) \(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^4+1\right)}-5\sqrt{\left|x\right|}+\sqrt{x}+2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^4+1\right)}-5\sqrt{x}+\sqrt{x}+2=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^4+1\right)}-4\sqrt{x}+2=0\) 

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(x^4+1\right)}=4\sqrt{x}-2\)  (1) 

Vì x >= 0 nên AD BĐT Cô - si ta được : \(x^4+1\ge2x^2\Rightarrow\sqrt{2\left(x^4+1\right)}\ge\sqrt{2.2x^2}=2x\) ( vì x >= 0 )    (2) 

Với x >= 0 ta luôn có : \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1\ge0\Leftrightarrow2x-4\sqrt{x}+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{x}-2\le2x\) . (3)

Từ (1) ; (2) và (3) suy ra : \(VT=VP=2x\)

Dấu " = " xảy ra <=> x = 1 (t/m)

Mà x = y suy ra : y = 1 (t/m)

Vậy ...

Bài làm:

Ta có: \(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{\left(x-1\right)-6\sqrt{x-1}+9}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-3\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|=1\)

xong tới đây blabla tiếp nha, mk ms lp 8 nên cx chưa chuyên sâu lắm

Ta có: \(\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1\) (ĐKXĐ: x \(\ge\)1)

<=> \(\sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+4}+\sqrt{x-1-6\sqrt{x-1}+9}=1\)

<=> \(\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-3\right)^2}=1\)

<=> \(\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|\sqrt{x-1}-3\right|=1\)

<=> \(\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|3-\sqrt{x-1}\right|=1\)

Do \(\left|\sqrt{x-1}-2\right|+\left|3-\sqrt{x-1}\right|\ge\left|\sqrt{x-1}-2+3-\sqrt{x-1}\right|=\left|1\right|=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(\sqrt{x-1}-2\right)\left(3-\sqrt{x-1}\right)\ge0\) 

TH1: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-2\ge0\\3-\sqrt{x-1}\ge0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}\ge2\\0\le\sqrt{x-1}\le3\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x\ge5\\1\le x\le10\end{cases}}\)=> \(5\le x\le10\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-2\le0\\3-\sqrt{x-1}\le0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}0\le\sqrt{x-1}\le2\\\sqrt{x-1}\ge3\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}1\le x\le5\\x\ge10\end{cases}}\)(loại)

Vậy S = \(\left\{x\left|5\le x\le10\right|\right\}\)