Gọi H(x) là thương trong phép chia P(x) cho D(x)

P(x) chia hết cho D(x) <=> P(x) = D(x).H(x)

<=> 2x³ + x² - 2x + 2bx - a - b + 7 = ( x - 1 )( x + 2 ).H(x) (*)

Thế x = 1 vào (*) ta được -a + b + 8 = 0 <=> -a + b = -8 (1)

Thế x = -2 vào (*) ta được -a - 5b - 1 = 0 <=> -a - 5b = 1 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\hept{\begin{cases}-a+b=-8\\-a-5b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{13}{2}\\b=-\frac{3}{2}\end{cases}}\)

Vậy ...

\(M=\frac{x^2}{x-3}=\frac{x^2-3x+3x-9+9}{x-3}=\frac{x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)+9}{x-3}=\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)+9}{x-3}=x+3+\frac{9}{x-3}\)

Vì x nguyên nên x + 3 nguyên

Để M nguyên thì 9/x+3 nguyên

hay x + 3 thuộc Ư(9) *bạn tự tính tiếp*

\(x^2+y^2+4=xy+2y+2x\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+8=2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+8-2xy-4x-4y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=0\)

Ta có:

\(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\)

\(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)

\(\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(x-2\right)^2\ge0\forall x;y\)

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-2=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=2\\x=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2\)

Vậy phương trình có nghiệm (x;y) =(2;2)