Bạn bấm máy tính nhé, được phép dùng máy tính để tìm góc khi biết tỉ số lượng giác của góc đó, không cần cm :))

Tam Bảo Đệ Nhất Phước bấm kiểu gì ạ? chẳng lẽ thử từng giá trị á?? :(((

Bài toán ghép cơ học không có gì mới

Ta chứng minh 2 bổ đề:

\(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\le\frac{9}{2\left(a+b+c\right)^2}\left(1\right)\)

\(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)^2}\le\frac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{ab+bc+ca}\left(2\right)\)

Bất đẳng thức ( 2 ) tương đương với:

\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}+1+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+4\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge2\)( Luôn đúng theo BĐT AM - GM )

 Bất đẳng thức ( 1 ) tương đương với:

\(\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\right)\le\frac{9}{2}\)

Sử dụng Titu's Lemma ta dễ có:

\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4a^2+b^2+c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{a^2}{2a^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\)

Một cách tương tự khi đó:

\(LHS\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\Sigma\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\left(đpcm\right)\)

Vậy ta có đpcm

tui đã bị khóa nick nguyenhung2008 r... T_T

Bài này khó quá mình không giải trực tiếp được, thoi đi quy nạp nha:

Với \(n=0\Rightarrow2^{2n+2}+24n+14=18⋮18\)

Với \(n=1\Rightarrow2^{2n+2}+24n+14=54⋮18\)

+) Giả sử giả thiết đúng tới \(n=k,k\inℕ,n>k>2\Rightarrow2^{2k+2}+24k+14⋮18\)

+) Cần chứng minh giả thiết đúng với \(n=k+1:\)

Xét \(2^{2\left(k+1\right)+2}+24\left(k+1\right)+14⋮18\)

\(\Leftrightarrow2^{2+\left(2k+2\right)}+24k+24+14⋮18\)

\(\Leftrightarrow2^2.2^{2k+2}+24k+14+24⋮18\)

\(\Leftrightarrow\left(2^{2k+2}+24k+14\right)+3.2^{2k+2}+24⋮18\)(1)

Vì \(\left(2^{2k+2}+24k+14\right)⋮18\)nên (1)\(\Leftrightarrow3.2^{2k+2}+24⋮18\)(2)

Vì \(3.2^{2k+2}+24⋮6\)nên (2)\(\Leftrightarrow2^{2k+1}+4⋮3\)

Xét \(2^{2k+1}=\left(3-1\right)^{2k+1}\)Vì (2k+1) là số lẻ nên\(\left(3-1\right)^{2k+1}\)có dạng 3A-1 (tức là chia 3 dư 2 đấy !)

(Điều này có thể được chứng minh bằng cách xét số dư khi chia lũy thừa của 2 cho 3, còn để chứng minh chặt chẽ thì đợi lên lớp 11 học nhị thức Newton nha !!)

Vậy (2)\(\Leftrightarrow3A-1+4⋮3\Leftrightarrow3A+3⋮3\)--->đúng \(\forall k,n>k>2\)

Vậy giả thiết đúng \(\forall n\inℕ\)

Chứng minh quy nạp giống bạn Ngọc 

.Giả thiêt đúng với n = 0 

G/s giả thiết đúng với n 

Cần chứng minh giả thiết đúng với n+1

Ta có: \(2^{2\left(n+1\right)+2}+24\left(n+1\right)+14\)

\(=2^{2n+2}.4+24n+24+14\)

\(=\left(2^{2n+2}+24n+14\right)+\left(3.2^{2n+2}+24\right)\)

Vì \(2^{2n+2}+8\equiv\left(-1\right)^{2n+2}+8\equiv9\equiv0\left(mod9\right)\)

\(\Rightarrow3.2^{2n+2}+24⋮9\) và dĩ nhiên là \(3.2^{2n+2}+24⋮2\) mà ( 2; 9) = 1

\(\Rightarrow3.2^{2n+2}+24⋮18\)

Theo điều G/s \(\left(2^{2n+2}+24n+14\right)⋮18\)

=> \(\left(2^{2n+2}+24n+14\right)+\left(3.2^{2n+2}+24\right)⋮18\)

=> \(2^{2\left(n+1\right)+2}+24\left(n+1\right)+14⋮18\)

=> giả thiết đúng với n + 1 

Vậy giả thiết đúng với mọi n