\(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^2-12x+14\)(ĐK: \(\frac{3}{2}\le x\le\frac{5}{2}\))

\(VP=3\left(x^2-4x+4\right)+2=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)

\(VT=\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\le\sqrt{2\left(2x-3+5-3x\right)}=2\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=2\).

Vậy \(x=2\).

\(a^2\left(b+c\right)-b^2\left(c+a\right)=\left(a-b\right)\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(a^2\left(b+c\right)=a\left(ab+ac\right)=a\left(-bc\right)=-abc=2020\Leftrightarrow abc=-2020\)

\(c^2\left(a+b\right)=c\left(ac+bc\right)=c\left(-ab\right)=-abc=2020\)

Vì a,b,c >0 

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta có

\(\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)\le\left(a+1+b+1+c+1\right)3\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)\le12\left(via+b+c=1\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\le\sqrt{12}\)(2)

Mà \(\sqrt{12}< 3,5\)(2)

Từ (1) (2) suy ra đpcm

Ý b cũng chứng minh tương tự vs bđt Bunhiacopxki nhé

Để d cắt 2 trục toạ độ thì m khác -1;2

GIẢ sử (d) cắt 2 trục toạ độ tại 2 điểm A và B, ta tính được toạ độ: \(A\left(\frac{3}{m+1};0\right);B\left(0;\frac{3}{m-2}\right)\)

tam giác OAB vuông tại O nên \(S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\left|\frac{3}{m+1}\right|\left|\frac{3}{m-2}\right|\)

\(S_{\Delta OAB}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left|\frac{3}{m+1}\right|\left|\frac{3}{m-2}\right|=\frac{9}{2}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}\\m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}\left(tmđk\right)}\)

\(ĐK:x\ge7\)

\(\sqrt{x+9}+\sqrt{x-7}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+9}-4\right)+\sqrt{x-7}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-7}{\sqrt{x+9}+4}+\sqrt{x-7}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-7}\left(\frac{\sqrt{x-7}}{\sqrt{x+9}+4}+1\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{\sqrt{x-7}}{\sqrt{x+9}+4}+1>0\forall x\ge7\)nên \(\sqrt{x-7}=0\Leftrightarrow x=7\)

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 7

CÁI DELL GÌ THẾ

\(PT\Leftrightarrow\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}=\sqrt{\left(7-x\right)\left(x-1\right)}-2\sqrt{7-x}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-1}-2\right)=\sqrt{7-x}\left(\sqrt{x-1}-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-1}=2\\\sqrt{x-1}=\sqrt{7-x}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=5\\x=4\end{cases}}}\)