cho √x + √y =4 tim gtln cua (√x +1 ) (√y + 2 )
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ML
3 tháng 7 2015
Do \(a^2+b^2+c^2=5\Rightarrow a^2,b^2,c^2\le5\Rightarrow\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\le\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\le2\)
\(\Rightarrow\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\in\left\{0;1;2\right\}\)
Mà \(a+b+c=3\) và \(a^2+b^2+c^2=5=0^2+1^2+2^2\)
\(\text{nên }\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(0;1;2\right);\left(0;2;1\right);\left(1;0;2\right);\left(1;2;0\right);\left(2;1;0\right);\left(2;0;1\right)\right\}\)
Với mỗi cặp như vậy, \(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)=\left(0+2\right)\left(1^2+2\right)\left(2^2+2\right)=36=6^2\)
là số chính phương.
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2+2ab-4ab\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+2\right)\le\frac{1}{4}\left(\sqrt{x}+1+\sqrt{y}+2\right)^2=\frac{1}{4}\left(4+3\right)^2=\frac{49}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt{x}+1=\sqrt{y}+2\text{ và }\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{5}{2}\text{ và }\sqrt{y}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{25}{4}\text{ và }y=\frac{9}{4}\)
Vậy GTLN của biểu thức đã cho là \(\frac{49}{4}\) khi \(x=\frac{25}{4};y=\frac{9}{4}\)