Ba người bạn là An, Bình, Châu có ba người em gái là Lan, Mai, Nga (Thứ tự anh em ngẫu nhiên). Trong một buổi sinh nhật, các bạn đã nêu các nhận xét sau về tuổi:
An nói: Bố mẹ chúng mình đều sinh chúng mình cách nhau 5 năm. Châu nói: Tổng số tuổi của tất cả 6 người mình là 151. Bình nói: Tổng số tuổi của mình và Nga là 52. Nga nói: Tổng số tuổi của mình và anh Châu là 48. Lan nói: Mình ít tuổi nhất ở đây. Hãy tính tuổi của mỗi người và từng cặp anh em ruột trong 6 người.Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Ta có: \(\text{VT}=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=\frac{a^2}{b}-a+b+\frac{b^2}{c}-b+c+\frac{c^2}{a}-c+a\)
\(=\frac{a^2-ab+b^2}{b}+\frac{b^2-bc+c^2}{c}+\frac{c^2-ca+a^2}{a}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b\geq 2\sqrt{a^2-ab+b^2}\)
\(\frac{b^2-bc+c^2}{c}+c\geq 2\sqrt{b^2-bc+c^2}\)
\(\frac{c^2-ca+a^2}{a}+a\geq 2\sqrt{c^2-ca+a^2}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}+(a+b+c)\geq 2(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2})(1)\)
Lại có:
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\frac{3}{4}(a-b)^2+\frac{1}{4}(a+b)^2}\geq \sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^2}=\frac{a+b}{2}\)
TT: \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\geq \frac{b+c}{2}; \sqrt{c^2-ca+a^2}\geq \frac{c+a}{2}\)
Suy ra: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\geq a+b+c(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\geq \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
(m+1)=x;x^2+3ax+a^3-3a^2=0. x khác 0=>a^3 -3a^2 khác 0 a khác 0; 3 ; delta (x) >=0 <=>9a^2-4(a^3-3a^2)>=0;21a^2-4a^3>=0;a^2 ( 21-4a)>=0<=>a>=21/4;;;GTNN a=21/4
câu (a) biến đổi HĐT số 5 (a+b+c=0)
câu b
x^4 =8x+7
\(x^4+2x^2+1=2x^2+8x+8\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)^2=2\left(x+2\right)^2\)\(\Leftrightarrow\left|x^2+1\right|=\sqrt{2}\left|x+2\right|\)
\(\Leftrightarrow x^2+1=\sqrt{2}x+2\sqrt{2}\Leftrightarrow x^2-\sqrt{2}x-2\sqrt{2}+1=0\)
\(\Delta_x=2-4\left(-2\sqrt{2}+1\right)=8\sqrt{2}-2\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}\pm\sqrt{8\sqrt{2}-2}}{2}\)
a/ Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x-\sqrt{2}=a\\x+\sqrt{3}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^3+b^3-\left(a+b\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow3ab\left(a+b\right)=0\)
b/ Lấy bài của bạn ở trên
c/ \(x^3-x^2-x=\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow3x^3-3x^2-3x=1\)
\(\Leftrightarrow4x^3=x^3+3x^2+3x+1\)
\(\Leftrightarrow4x^3=\left(x+1\right)^3\)
a/ \(\left(x+1\right)\left(x+5\right)\left(x^2+6x+19\right)=0\)
b/ \(\left(x+1\right)\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+x+1\right)=0\)
e/ \(\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x^2+9x+19\right)=0\)
a) \(\left(x+2\right)^4+\left(x+4\right)^4=82\)
x+3=t
<=>\(\left(t-1\right)^4+\left(t+1\right)^4=82\)
<=>\(\left[\left(t-1\right)^2-\left(t+1\right)^2\right]^2=82-2\left(t-1\right)^2\left(t+1\right)^2\)
<=>\(\left[\left\{\left(t-1\right)-\left(t+1\right)\right\}\left\{\left(t-1\right)+\left(t+1\right)\right\}\right]^2=82-2\left(t^2-1\right)^2\)
<=>\(16t^2=82-2\left(t^2-1\right)^2\)
<=>\(\left(t^2-1\right)^2+8t^2-41=0\)
<=>\(\left(t^2-1\right)^2+8\left(t^2-1\right)-33=0\)
\(\Delta_{\left(t^2-1\right)}=16+33=49\)
\(\left[{}\begin{matrix}t^2-1=-4-7\left(l\right)\\t^2-1=-4+7\Leftrightarrow t^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t_1=2\\t_2-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=-5\\x_2=-1\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{2x+1}+\dfrac{2x-1}{x+3}-\left(2x-1\right)\sqrt{x^2+4}-\sqrt{2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{2}\right)+\dfrac{2x-1}{x+3}-\left(2x-1\right)\sqrt{x^2+4}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{x+3}-\sqrt{x^2+4}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
PS: Phần trong ngoặc chứng minh vô nghiệm cũng không khó b tự làm nốt nhé.
Cái này hình như đều ứng dụng của vi-et mà. B về lật phần vi-et rồi áp dụng vô là được
\(\left\{{}\begin{matrix}16x^2y^2-17y^2=-1\\4xy+2x-7y=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}16x^2y^2-17y^2=-1\\\left(4xy+1\right)^2=\left(-2x+7y\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}16x^2y^2-17y^2+1=0\\16x^2y^2-49y^2-4x^2+36xy+1=0\end{matrix}\right.\)
Lấy trên trừ dưới được
\(32y^2+4x^2-36xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(8y-x\right)=0\)
Bài 1:
Áp dụng hệ thức Viete của pt bậc 2 ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1x_2=\frac{c}{a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{-b}{a}=-4(1)\\ \frac{c}{a}=-5(2)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) \(\Rightarrow b=4a\). Mà \(a+b=5\) nên \(\Leftrightarrow a+4a=5\Leftrightarrow 5a=5\Leftrightarrow a=1\)
\(\Rightarrow b=4a=4\)
Từ \((2)\Rightarrow c=-5a=-5\)
Do đó PT là: \(x^2+4x-5=0\) (thử lại thấy thỏa mãn)
Bài 2:
\(\left\{\begin{matrix} x=2\\ mx+y=m^2+3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow 2m+y=m^2+3\)
\(\Leftrightarrow y=m^2-2m+3\)
Khi đó:
\(x+y=2+m^2-2m+3=m^2-2m+5\)
\(x+y=(m-1)^2+4\geq 4\) do \((m-1)^2\ge 0\forall m\in\mathbb{R}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(m=1\)
Do đó $x+y$ đạt min khi \(m=1\)
1)
Bài toán tương hệ : \(\left\{{}\begin{matrix}b^2-4c\ge0\\a+b=5\\\dfrac{-b}{a}=-4\\\dfrac{c}{a}=-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2\ge4c\left(1\right)\\a+b=5\left(2\right)\\4a-b=0\left(3\right)\\5a+c=0\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
(2) cộng (3) \(\Leftrightarrow5a=5\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{5}=1\) thế vào (2) => b =4
thế vào (4) => c=-5 ; c <0 => (1) luôn đúng
Kết luận (không phải thử lai hành động vô nghĩa )
\(f\left(x\right)=x^2+4x-5\)
2)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\mx+y=m^2+3\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)
thế (1) vào (2)
<=>\(y=m^2-2m+3=\left(m^2-2m+1\right)+2=\left(m-1\right)^2+2\)
x hằng số => x+y nhỏ nhất khi y nhỏ nhất
có (m-1)^2 >=0 đẳng thức khi m =1
=> y nhỏ nhất => m =1
kết luận :
m =1
bài bắt tìm "m" => để (x+y ) nhỏ nhất không bắt tính (x+y) do đâu cần biểu thức (x+y) phức tạp thêm vô bỏ