Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
![](https://rs.olm.vn/images/bird.gif)
Tính đạo hàm tại một điểm SVIP
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a ; b)$ và $x_0 \in(a ; b)$.
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) $\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$ và kí hiệu là $f^{\prime}\left(x_0\right)$ có nghĩa là
$f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$
Trong đó
$\Delta x=x-x_0$ gọi là số gia của đối số $x$ tại $x_0$.
$\Delta y=f(x)-f\left(x_0\right)=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ gọi là số gia tương ứng của hàm số.
2. Phương pháp tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số $x$ tại điểm $x_0$. Tính $\Delta y=f\left(x_0+\Delta \mathrm{x}\right)-f\left(x_0\right)$
Bước 2: Lập tỉ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
Bước 3: Tìm $\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
+ Nếu $\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ tồn tại hữu hạn thì tại $x_0$ hàm số có đạo hàm $f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$;
+ Nếu $\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ không tồn tại hữu hạn thì tại $x_0$ hàm số không có đạo hàm.
3. Các ví dụ
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y=2 x^2+3$ tại $x_0=2$.
Hướng dẫn giải
Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0=2$.
Ta có:
$\begin{aligned} \Delta y=f(2+\Delta x)-f(2) & =2(2+\Delta x)^2+3-\left(2 \cdot 2^2+3\right) \\ & =2 \Delta x(\Delta x+4) . \end{aligned}$
Tỉ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{2 \Delta x(\Delta x+4)}{\Delta x}=2 \Delta x+8$.
$\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0}(2 \Delta x+8)=8$.
Ví dụ 2. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số $y=\dfrac{2 x-1}{x+1}$ tại $x_0=3$.
Hướng dẫn giải
Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0=3$.
Ta có: $\Delta y=f(3+\Delta x)-f(3)=\dfrac{2(3+\Delta x)-1}{3+\Delta x+1}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{5+2 \Delta x}{4+\Delta x}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{3 \Delta x}{4(4+\Delta x)}$;
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{3 \Delta x}{\Delta x \cdot 4(4+\Delta x)}=\dfrac{3}{4(4+\Delta x)} \text {. }$
Do đó $\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{3 \Delta x}{\Delta x \cdot 4(4+\Delta x)}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{3}{4(4+\Delta x)}=\dfrac{3}{16}$.
Vậy $f^{\prime}(3)=\dfrac{3}{16}$.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x \geq 0 \\ -x^2, x<0\end{array}\right.$ không có đạo hàm tại $x=0$ nhưng có đạo hàm tại $x=2$.
Hướng dẫn giải
Ta có:
$\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}}(x-1)^2=1 ; \lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}}\left(-x^2\right)=0 \Rightarrow \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) \neq \lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) \text {. }$
Suy ra hàm số gián đoạn tại $x=0$ nên không có đạo hàm tại đó.
$\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{(1+\Delta x)^2-1^2}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \rightarrow 0}(2+\Delta x)=2 .$
Vậy hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại $x=2$ và $f^{\prime}(2)=2$.
Bạn có thể đánh giá bài học này ở đây