Gọi h là chiều cao của hình thang ABCD , h1 là chiều cao của tam giác DPC hạ từ P xuống DC, h2 là chiều cao của tam giác APB hạ từ P xuống AB ⇒ h= h1+ h2
Diện tích tam giác PDC=\(\dfrac{h_2.DC}{2}\)=2 ⇒ DC=\(\dfrac{4}{h_2}\) .Diện tích tam giác PAB = \(\dfrac{h_1.AB}{2}\) =4 ⇒ AB =\(\dfrac{8}{h_1}\)
Ta có tỉ số AB ;DC= \(\dfrac{2h_2}{h_1}\)
Lại có diện tích hình thang ABCD là \(\dfrac{\left(AB+CD\right)h}{2}\)= 2+3+4+5 =14 ⇒(\(\dfrac{8}{h_1}\)+ \(\dfrac{4}{h_2}\)).h=28
⇒ (8h2+4h1).(h1+h2)=28h1h2 ⇒ 8h1h2 +8(h2)2 +4(h1)2+ 4h1h2= 28h1h2
⇒ 8(h2)2 +4(h1)2 - 16h1h2 =0 ⇒ (2h2)2- 2.2h2.h1+ (h1)2 -2(h2)2=0
⇒ (2h2-h1)2-(\(\sqrt{2}\)h2)2=0 ⇒(2h2+\(\sqrt{2}\)h2-h1)(2h2-\(\sqrt{2}\)h2-h1)=0
⇒ h1= (2+\(\sqrt{2}\))h2 hoặc h1=(2-\(\sqrt{2}\))h2
⇒ AB:DC=\(\dfrac{2}{2+\sqrt{2}}\)=2-\(\sqrt{2}\) <1 hoặc AB:DC= \(\dfrac{2}{2-\sqrt{2}}\)= 2+\(\sqrt{2}\) >1
Mà AB> CD ⇒ AB:CD >1 ⇒ tỉ số AB:DC =2+\(\sqrt{2}\)
Vậy tỉ số AB:CD=2+\(\sqrt{2}\)
