Gọi R là bán kính của hình tròn lớn \(\left(R>18\right)\)

Dễ dàng tính được \(OI=R-18\); \(OE=OF=R-10\), \(OD=R\)

Xét (O') có 2 dây EF và ID cắt nhau tại O \(\Rightarrow OE.OF=OD.OI\)\(\Rightarrow\left(R-10\right)^2=R\left(R-18\right)\Leftrightarrow R^2-20R+100=R^2-18R\)\(\Rightarrow2R=100\Leftrightarrow R=50\) (nhận)

Vậy diện tích hình tròn lớn là \(S_{\left(O\right)}=\pi R^2=50^2.\pi=2500\pi\left(đvdt\right)\)

Mặt khác \(ID=OD+OI=R+\left(R-18\right)=2R-18\) \(\Rightarrow O'I=\dfrac{ID}{2}=\dfrac{2R-18}{2}=R-9=50-9=41\) hay bán kính của hình tròn nhỏ bằng \(41\) 

Diện tích hình tròn nhỏ là \(S_{\left(O'\right)}=\pi r^2=41^2.\pi=1681\pi\left(đvdt\right)\)

Vậy diện tích phần hình tô đậm là \(S_{tôđậm}=S_{\left(O\right)}-S_{\left(O'\right)}=2500\pi-1681\pi=819\pi\) (đvdt)