Gọi độ dài bán kính của hình tròn là r, vậy đường kính của hình tròn là 2r.
Ta thấy: CD = CB (cùng là cạnh của hình vuông ABCD)
\(\Rightarrow CD^2=CB^2\)
Áp dụng định lý Pi - ta - go vào \(\Delta BCD\) ta được:
\(CD^2+CB^2=DB^2\)
\(\Leftrightarrow2DB^2=\left(2r\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2DB^2=4r^2\)
\(\Leftrightarrow DB^2=2r^2\)
\(\Leftrightarrow DB=r\sqrt{2}\)
Gọi O là tâm hình tròn, s là độ dài 1 cạnh của hình vuông EFGH.
Kẻ bán kính OH,OG ; hạ OI vuông góc với HG tại l.
Ta thấy: OH = OG (cùng là bán kính của hình tròn tâm O), OI vuông góc với HG
\(\Rightarrow\)OI là trung trực của HG
\(\Rightarrow\)I là trung điểm của HG
\(\Rightarrow GI=\dfrac{GH}{2}=\dfrac{s}{2}\)
Lại thấy: \(OI=\dfrac{BD}{2}+FH\)
\(\Rightarrow OI=\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+s\)
Áp dụng định lý Pi - ta - go vào \(\Delta OIG\) ta được:
\(OI^2+GI^2=OG^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+s\right)^2+\left(\dfrac{s}{2}\right)^2=r^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{s}{2}+\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+s\right)^2-2\cdot\dfrac{s}{2}\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+s\right)=r^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{s}{2}\right)^2+\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{2}\right)^2+s^2+2\cdot\dfrac{s}{2}\cdot\dfrac{r\sqrt{2}}{2}+2\cdot\dfrac{s}{2}\cdot s+2\cdot\dfrac{r\sqrt{2}}{2}\cdot s-2\cdot\dfrac{s}{2}\cdot\dfrac{r\sqrt{2}}{2}-2\cdot\dfrac{s}{2}\cdot s=r^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{s^2}{4}+\dfrac{2r^2}{4}+s^2+s\left(r\sqrt{2}\right)-s^2=r^2\)
\(\Leftrightarrow s^2\cdot\dfrac{5}{4}+s\left(r\sqrt{2}\right)-\dfrac{r^2}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow5s^2+4s\left(r\sqrt{2}\right)-2r^2=4\cdot0\)
\(\Leftrightarrow5s^2+5s\left(r\sqrt{2}\right)-s\left(r\sqrt{2}\right)-\left(r\sqrt{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow5s\left(s+r\sqrt{2}\right)-r\sqrt{2}\left(s+r\sqrt{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(5s-r\sqrt{2}\right)\left(s+r\sqrt{2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5s-r\sqrt{2}=0\\s+r\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5s=r\sqrt{2}\\s=-r\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}s=\dfrac{r\sqrt{2}}{5}\\s=-r\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Ta loại \(s=-r\sqrt{2}\) vì s là độ dài đoạn thẳng luôn dương.
Vậy : \(s=\dfrac{r\sqrt{2}}{5}\)\(\Rightarrow S_{EFHG}=\left(\dfrac{r\sqrt{2}}{5}\right)^2=\dfrac{2r^2}{25}\)
Ta thấy: \(\dfrac{S_{ABDC}}{S_{EFHG}}=\dfrac{2r^2}{\dfrac{2r^2}{25}}=25\)
Hay (diện tích hình vuông màu xanh)/(diện tích hình vuông màu vàng) = 25 (lần)
Vậy diện tích hình vuông màu xanh lớn hơn diện tích hình vuông màu vàng 25 lần.
