Bài toán 79

Đáp án

B1) Ta sẽ bắt đầu từ việc tính phần diện tích hình AMNPD ở dưới như sau:

Ta có nhận xét: AD = AN = DN = 1 => Tam giác NAD là tam giác đều => góc NAD = 60^o. 

=> Diện tích hình quạt ANPDA bằng 60/360 = 1/6 diện tích hình tròn tâm A (vì cả hình tròn tương ứng với góc ở tâm là 360^o, hình quạt có góc ở tâm 60^o sẽ bằng 1/6 diện tích hình tròn)

Vậy diện tích hình quạt ANPDA = \(\frac{\pi}{6}\)

Diện tích tam giác đều NAD có cạnh bằng 1 là:  \(\frac{1}{2}.1.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\) (vì đáy bằng 1 và đường cao bằng \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))

=> Diện tích DNPD (chắn bới dây DN và cung NPD) = diện tích ANPDA - diện tích tam giác NAD =  \(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Do tính đối xứng, diện tích ANMA cũng băng \(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Suy ra diện AMNPDA = diện tích ANMA + diện tích tam giác NAD + diện tích DNPD

                                 = \(\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)+\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)+\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)\)

                                 =  \(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\)

B2) Tính diện tích BNCB (phần gạch trong hình dưới)

Ta có: [ABNPDA] + [ DAMNCD] - [ABCD] = [AMNPDA] - [BNCB]    (kí hiệu [ ... ] là diện tích)

=>           \(\frac{\pi}{4}\)       +        \(\frac{\pi}{4}\)      -      1       = [\(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}\)]  - [BNCB]

=> [BNCB] = \(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+1=1-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{6}\)

Theo tính chất đối xứng thì các hình tương tự [BMAB] cũng có điện tích như [BNCB]

B3) Tính diện tích hình BMNB (hình gạch chéo bên dưới)

 

Ta có: [BAMNCB] = [ABCD] - [DAMNCD] = 1 - \(\frac{\pi}{4}\)

=> [BMNB] =  [BAMNCB] - [BAMB] - [BNCB]

                  = [ \(1-\frac{\pi}{4}\)]      - [ \(1-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{6}\)] - [ \(1-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{6}\)]

                  = \(\frac{\sqrt{3}}{2}-1+\frac{\pi}{12}\)

Do tính đối xứng, [DQPD] cũng bằng giá trị trên.

B4) Tính diện tích [MNPQ] (phần gạch chéo phía dưới):

Ta có: [BMQDPNB] = [CBMQDC] + [ABNPDA] - [ABCD]

                              =       \(\frac{\pi}{4}\)      +      \(\frac{\pi}{4}\)        - 1

                              =  \(\frac{\pi}{2}-1\)

[MNPQ] = [BMQDPNB] - [BMNB] - [DQPD]

             = [ \(\frac{\pi}{2}-1\)]  - [ \(\frac{\sqrt{3}}{2}-1+\frac{\pi}{12}\)] - [ \(\frac{\sqrt{3}}{2}-1+\frac{\pi}{12}\)]

             = \(\frac{\pi}{3}+1-\sqrt{3}\)

             \(\approx0,313\) (dm²)

ĐS: 0,313 dm²