\(\frac{5}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y}{3}\left(x\ne0;x,y\in\Z\right)\)

\(\frac{5}{x}=\frac{y}{3}+\frac16\)

\(\frac{5}{x}=\frac{2y+1}{6}\)

\(x.\left(2y+1\right)=5.6\)

\(x.\left(2y+1\right)=30\)

Vì \(x,y\in\Z\) nên \(2y+1\inƯ\left(30\right)=\left\lbrace\pm1;\pm3;\pm5;\pm15\right\rbrace\)

Ta có:

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\lbrace\left(30;0\right),\left(-30;-1\right),\left(10;1\right),\left(-10;-2\right),\left(6;2\right),\left(-6;-3\right),\left(2;7\right),\left(-2;-8\right)\right\rbrace.\)

\(M=3+3^2+3^3+\cdots+3^{100}\)

\(3M=3^2+3^3+3^4+\cdots+3^{101}\)

\(3M-M=\left(3^2+3^3+\cdots+3^{101}\right)-\left(3+3^2+\cdots+3^{100}\right)\)

\(2M=3^{101}-3\)

\(2M+3=3^{101}\)

Mà \(3^{101}=3.\left(3^{50}\right)^2\) nên \(3^{101}\) không là số chính phương

Vậy \(2M+3\) không là số chính phương.

P/s: Sửa đề thành chứng minh \(a=b=c\)

-------------

\(\left(c+\right)\left(c+b\right)=4c^2\)

\(c^2+cb+ca+ab=4c^2\)

\(c^2+c\left(a+b\right)+ab=4c^2\)

\(c^2+c.2c+ab=4c^2\)

\(c^2+2c^2+ab=4c^2\)

\(3c^2+ab=4c^2\)

\(ab=c^2\)

Ta có: \(\left(a-b\right)^2=\left(a+b\right)^2-4ab\) (1)

Thay \(a+b=2c;ab=c^2\) vào (1), có:

\(\left(a-b\right)^2=\left(2c\right)^2-4c^2\)

\(\left(a-b\right)^2=4c^2-4c^2\)

\(\left(a-b\right)^2=0\)

\(a-b=0\)

\(a=b\)

Suy ra: \(a+a=2c\) hay \(2a=2c\) hay \(a=c\)

Vậy \(a=b=c.\)

Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường $AB$:

\(8-6=2\) (giờ)

Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường $AB$:

$10-6=4$ (giờ)

Trong 1 giờ, xe thứ nhất đi được phần quãng đường:

\(1:2=\frac12\) (quãng đường)

Trong 1 giờ, xe thứ hai đi được phần quãng đường:

\(1:4=\frac14\) (quãng đường)

Trong 1 giờ, cả hai xe đi được phần quãng đường:

\(\frac12+\frac14=\frac34\) (quãng đường)

Thời gian từ lúc khởi hành đến lúc hai xe gặp nhau:

\(1:\frac34=\frac43\) (giờ)

Hai xe gặp nhau lúc:

\(6+\frac43=\frac{22}{3}\) giờ \(=7\) giờ \(20\) phút.