Nguyễn Ngọc Anh Minh
Giới thiệu về bản thân
\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=y^2\)
+ Nếu \(y=0\)
\(\Rightarrow x\left(x+1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)
+ Nếu \(y\ne0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y^m\\x+1=y^n\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x\left(x+1\right)=y^m.y^n=y^{m+n}=y^2\Rightarrow m+n=2\) (1)
Ta có
\(y^n-y^m=\left(x+1\right)-x=1\)
\(\Leftrightarrow y^n\left(1-y^{m-n}\right)=1.1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^n=1\\y^{m-n}=0\end{matrix}\right.\) (2)
Kết hợp (1) và (2)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y^n=1\\y^{m-n}=0\\m+n=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=0\\y=0\\m=2\end{matrix}\right.\) mâu thuẫn với đk \(y\ne0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\\y=0\end{matrix}\right.\)
a/
E và F bình đẳng nhau nên tôi chỉ c/m ME là tiếp tuyến với đường tròn đường kính AH. Còn c/m MF là tiếp tuyến làm tương tự bạn tự c/m nhé
Gọi I là tâm đường tròng đường kính AH => IA=IH
Gọi D là giao của AH với BC
Xét tg ABC có \(AH\perp BC\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)
\(\Rightarrow AD\perp BC\)
Xét tg vuông ADC và tg vuông BEC có
\(\widehat{DAC}=\widehat{EBC}\) (cùng phụ với \(\widehat{C}\) ) (1)
Xét tg vuông AHE có
\(IA=IH\Rightarrow IE=IA=IH=\dfrac{AH}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
\(\Rightarrow E\in\left(I\right)\) và tg AIE cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{AEI}\) (góc ở đáy tg cân) (2)
Xét tg vuông BEC có
\(MB=MC\left(gt\right)\Rightarrow ME=MB=MC=\dfrac{BC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
=> tg BME cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{BEM}\) (góc ở đáy tg cân) (3)
Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{BEM}\)
Mà \(\widehat{AEI}+\widehat{BEI}=\widehat{AEB}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BEM}+\widehat{BEI}=\widehat{MEI}=90^o\Rightarrow ME\perp IE\) => ME là tiếp tuyến với đường tròn đường kính AH
b/
Xét tg MEK và tg MAE có
\(\widehat{AME}\) chung
Ta có
\(sđ\widehat{MEK}=\dfrac{1}{2}sđcungEK\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(sđ\widehat{MAE}=\dfrac{1}{2}sđcungEK\) (góc nội tiếp (O))
\(\Rightarrow\widehat{MEK}=\widehat{MAE}\)
=> tg MEK đồng dạng với tg MAE (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{ME}{MA}=\dfrac{MK}{ME}\Rightarrow MK.MA=ME^2\)
Xét tg BCD có
AI//BC (gt)\(\Rightarrow\dfrac{BM}{DM}=\dfrac{CI}{DI}\) (Talet) (1)
KP//BD (gt) \(\Rightarrow\dfrac{BP}{CP}=\dfrac{DK}{CK}\) (Talet) (2)
Xét tứ giác ABKD có
AB//CD (gt) => AB//DK
KP//AD (gt)
=> ABKD là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh) => AB=DK (cạnh đối hbh) (3)
Xét tứ giác ABCI có
AB//CD (gt) => AB//CI
AI//BC
=> ABCI là hbh => AB=CI (cạnh đối hbh) (4)
Từ (3) và (4) => CI=DK (5)
Ta có
IK=DK-DI
IK=CI-CK
Mà CI=DK (cmt)
=> DI=CK (6)
Từ (1) (2) (5) (6) \(\Rightarrow\dfrac{BM}{DM}=\dfrac{BP}{CP}\)
Xét tg BCD có
\(\dfrac{BM}{DM}=\dfrac{BP}{CP}\) (cmt) => MP//DC (Talet đảo)
\(A=2003-\dfrac{1}{2.3}\left(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{18.19}+\dfrac{1}{19.20}\right)\)
Đặt
\(B=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{19.20}=\)
\(=\dfrac{2-1}{1.2}+\dfrac{3-2}{2.3}+\dfrac{4-3}{3.4}+...+\dfrac{20-19}{19.20}=\)
\(=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{20}=\)
\(=1-\dfrac{1}{20}=\dfrac{19}{20}\)
\(\Rightarrow A=2023-\dfrac{1}{1.2}.B=2023-\dfrac{1}{6}.\dfrac{19}{20}=\)
\(a+4b⋮13\Rightarrow11.\left(a+4b\right)=11a+44b⋮13\)
\(\Rightarrow\left(11a+44b\right)-\left(a+4b\right)=10a+40b=\left(10a+b\right)+39⋮13\)
Mà \(39⋮13\Rightarrow10a+b⋮13\)
Đặt
\(a+4b=13p;10a+b=13q\)
\(\Rightarrow\left(a+4b\right).\left(10a+b\right)=13p.13q=169pq⋮169\)
Giả sử 210 con đều là gà và vịt thì tổng số chân là
210x2=420 chân
Số chân thiếu so với thực tế là
532-420=112 chân
Số chân mỗi con lợn hoặc dê hơn mỗi con gà hoặc vịt là
4-2=2 chân
Số lợn và dê là
112:2=56 con
Chia số lợn thaanhf 2 phần bằng nhau thì số dê là 5 phần
Tổng số phần bằng nhau là
2+5=7 phần
Giá trị 1 phần là
56:7=8 con
Số con lợn là
2x8=16 con
Số cong dê là
5x8=40 con
Tổng số gà và vịt là
210-56=154 con
Số con gà là
(154+18):2=86 con
Số con vịt là
154-86=68 con
A=1.3.(5-2)+3.5.(7-2)+5.7.(9-2)+...+97.99(101-2)=
=(1.3.5+3.5.7+5.7.9+...+97.99.101) - 2.(1.3+3.5+5.7+...+97.99)
Đặt
B=1.3.5+3.5.7+5.7.9+...+97.99.101
=> 8B=1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+...+97.99.101.8=
=1.3.5(7+1)+3.5.7.(9-1)+5.7.9.(11-3)+...+97.99.101.(103-95)=
=1.3.5+1.3.5.7-1.3.5.7+3.5.7.9-3.5.7.9+5.7.9.11-...-95.97.99.101+97.99.101.103=
=3.5+97.99.101.103
\(\Rightarrow B=\dfrac{15+97.99.101.103}{8}\)
Đặt
C=1.3+3.5+5.7+...+97.99
=> 6C=1.3.6+3.5.6+5.7.6+...+97.99.6=
=1.3.(5+1)+3.5.(7-1)+5.7.(9-3)+...+97.99.(101-95)=
=1.3+1.3.5-1.3.5+3.5.7-3.5.7+5.7.9-...-95.97.99+97.99.101=
=1.3+97.99.101
\(\Rightarrow C=\dfrac{3+97.99.101}{6}\)
\(\Rightarrow A=B-2C\)
Thay các giá trị của B và C bạn tự tính nốt nhé
a/
Xét tg MNE và tg PKE có
EM=EP (gt)
EN=EK (gt)
\(\widehat{MEN}=\widehat{PEK}\) (góc đối đỉnh)
=> tg MNE = tg PKE (c.g.c) =>MN=KP
b/ Xét tg vuông MNP có
NP>MN (trong tg vuông cạnh huyền là cạnh có độ dài lớn nhất)
Mà MN=KP (cmt)
=> NP>KP
\(A=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\)
\(=1\left(2-1\right)+2\left(3-1\right)+3\left(4-1\right)+n\left[\left(n+1\right)-1\right]=\)
\(=1.2-1+2.3-2+3.4-3+...+n\left(n+1\right)-n=\)
\(=\left[1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)\right]-\left(1+2+3+...+n\right)=\)
Đặt
\(B=1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)\)
\(\Rightarrow3B=1.2.3+2.3.3++3.4.3+n\left(n+1\right).3=\)
\(=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+...+n.\left(n+1\right)\left[\left(n+2\right)-\left(n-1\right)\right]=\)
\(=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-...-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow B=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}-\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\) Là 1 đa thức bậc 3