Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là $x$(phút), trên truyền hình là $y$(phút).

Chi phí cho việc này là: $800$ $000x+4$ $000$ $000y$(đồng).

Mức chi này không được phép vượt quá mức chi tối đa, tức: $800$ $000x+4$ $000$ $000y\le 16$ $000$ $000$ hay $x+5y-20\le 0$.

Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: $x\ge 5$, $y\le 4$.

Đồng thời do $x$; $y$ là thời lượng nên $x\ge 0$, $y\ge 0$. Hiệu quả chung của quảng cáo là: $x+6y$.

Bài toán trở thành: Xác định $x$; $y$ sao cho: $M(x;y)=x+6y$ đạt giá trị lớn nhất.

Với các điều kiện {x+5y−20≤0x≥50≤y≤4⎩⎨⎧​​x+5y−20≤0x≥50≤y≤4​ (*).

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $d:$ $x+5y-20=0$; $d^{\prime }:$ $x=5$ và $d^{\prime \prime }:$ $y=4$.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tam giác (phần không tô màu) trên hình vẽ bên dưới.

Giá trị lớn nhất của $M(x;y)=x+6y$ đạt tại một trong các điểm $(5;3)$; $(5;0)$; $(20;0)$.

Ta có $M(5;3)=23$; $M(5;0)=5$ và $M(20;0)=20$ suy ra giá trị lớn nhất của $M(x;y)$ bằng $23$ tại $(5;3)$ tức là nếu đặt thời lượng quảng cáo trên sóng phát thanh là $5$ phút và trên truyền hình là $3$ phút thì sẽ đạt hiệu quả nhất.

Gọi $x$ ($x\ge 0$) là số kg loại I cần sản xuất, $y$ ($y\ge 0$) là số kg loại II cần sản xuất.

Suy ra số nguyên liệu cần dùng là $2x+4y$, thời gian là $30x+15y$ có mức lãi là $40$ $000x+30$ $000y$.

Theo giả thiết bài toán xưởng có $200$kg nguyên liệu và $120$ giờ làm việc suy ra $2x+4y\le 200$ hay $x+2y-100\le 0$, $30x+15y\le 1$ $200$ hay $2x=y-80\le 0$.

Bài toán trở thành: Tìm $x$, $y$ thỏa mãn hệ {x+2y−100≤02x+y−80≤0x≥0y≥0⎩⎨⎧​​x+2y−100≤02x+y−80≤0x≥0y≥0​ (*) sao cho $L(x;y)=40$ $000x+30$ $000y$ đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $d:$ $x+2y-100=0$ và $d^{\prime }:$ $2x+y-80=0$.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tứ giác (phần không tô màu) trên hình vẽ bên dưới.

Giá trị lớn nhất của $L(x;y)=40$ $000x+30$ $000y$ đạt tại một trong các điểm $(0;0)$, $(40;0)$, $(0;50)$, $(20;40)$.

Ta có $L(0;0)=0$; $L(40;0)=1$ $600$ $000$; $L(0;50)=1$ $500$ $000$; $L(20;40)=2$ $000$ $000$ suy ra giá trị lớn nhất của $L(x;y)$ là $2$ $000$ $000$ khi $(x;y)=(20;40)$.

Vậy cần sản xuất $20$ kg sản phẩm loại I và $40$ kg sản phẩm loại II để có mức lãi lớn nhất.

Xác định miền nghiệm bất phương trình $(x-y).(x^3+y^3)\ge 0$. 

Ta có (x−y)(x3+y3)≥0⇔(x−y)(x+y)(x2−xy+y2)≥0⇔(x−y)(x+y)≥0⇔{x−y≥0x+y≥0(x−y)(x3+y3)≥0⇔(x−y)(x+y)(x2−xy+y2)≥0⇔(x−y)(x+y)≥0⇔{​x−y≥0x+y≥0​ (1) hoặc {x−y≤0x+y≤0{​x−y≤0x+y≤0​ (2)

Như vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho là gồm hai miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) và (2).

Vẽ các đường thẳng $d:$ $x+y=0$ và $d^{\prime }:$ $x-y=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Xét điểm $M(1;0)$, ta có $(1;0)$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ (1) do đó $M(1;0)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (1).

Xét điểm $N(-1;0)$, ta có $(-1;0)$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ (2) do đó $N(-1;0)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (2).

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$.

) {𝑥+𝑦−2≥0𝑥−3𝑦+3≤0{​x+y−2≥0x−3y+3≤0​;

b) {𝑥+𝑦> 02𝑥−3𝑦+6>0𝑥−2𝑦+1≥0⎩⎨⎧​​x+y> 02x−3y+6>0x−2y+1≥0​;

a) Vẽ các đường thẳng $d:$ $x+y-2=0$ và $d^{\prime }:$ $x-3y+3=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Xét điểm $O(0;0)$, thấy $(0;0)$ không phải là nghiệm của bất phương trình $x+y-2\ge 0$ và $x-3y+3\le 0$.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là phần mặt phẳng không được tô màu và kể cả hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$.

b) Vẽ các đường thẳng $d:$ $x+y=0$; $d^{\prime }:$ $2x-3y+6=0$ và $d^{\prime \prime }:$ $x-2y+1=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Xét điểm $O(0;0)$, thấy $(0;0)$ là nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1\ge 0$.

Do đó $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1\ge 0$.

Xét điểm $M(1;0)$, thấy $(1;0)$ là nghiệm của bất phương trình $x+y>0$. Do đó $M(1;0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x+y>0$

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ bên dưới kể cả đường thẳng $d^{\prime \prime }$.

a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $(d)$: $2x-y=0$.

Ta có $(d)$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, ví dụ điểm $M(1;0)$. Ta thấy $(1;0)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $(d)$ và chứa điểm $M(1;0)$ (Miền không được tô màu ở hình vẽ sau).

b) Ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{x-2y}{2}>\genfrac{}{}{0ex}{}{2x+y+1}{3}\iff 3(x-2y)-2(2x-y+1)>0\iff -x-4y-2>0\iff x+4y+2<0$. 

Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $\Delta$: $x+4y+2=0$.

Xét điểm $O(0;0)$, thấy $(0;0)$ không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ $\Delta$ (không kể đường thẳng $\Delta$) và không chứa điểm $O(0;0)$ (Miền không được tô màu ở hình vẽ sau).