Trường hợp 1: Giả sử ba số $a$, $b$, $c$ đều lớn hơn $1$ hoặc ba số $a$, $b$, $c$ đều nhỏ hơn $1$.

Khi đó a.b.c \ne 1
 a.b.c $\ne 1$ (trái với giả thiết).

 Trường hợp 2: Giả sử hai trong ba số $a$, $b$, $c$ lớn hơn 1.

Không mất tính tổng quát, giả sử $a>1$ và $b>1$.

Vì $a.b.c=1$ nên $c\; <1$ do đó:

     $(a-1).(b-1).(c-1)<0$

$\iff abc+a+b+c-ab-ac-ca-1<0$

$\iff a+b+c-ab-ac-ca<0$

$\iff a+b+c<ab+ac+ca$

$\iff$a + b + c < $\backslash (\backslash dfrac\{abc\}\{c\}\backslash )$ + \(\dfrac{abc}{a}\) + \(\dfrac{abc}{b}\)

⇔ a + b + c < \(\dfrac{1}{c}\) + \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) (mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số $a$, $b$, $c$ lớn hơn $1$

Giả sử ba số $a$, $b$, $c$ không đồng thời là các số dương thì có ít nhất một số không dương.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a ≤ 0 

 Nếu $a=0$ thì $abc=0$ (mâu thuẫn với giả thiết $abc>0)$

 Nếu $a<0$ thì từ $abc>0\Rightarrow bc<0$.

Ta có $ab+bc+ca>0\iff a(b+c)>-bc\Rightarrow a(b+c)>0\Rightarrow b+c<0\Rightarrow a+b+c<0$ (mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy cả ba số $a$, $b$ và $c$ đều dương.

Giả sử $x+y+xy=-1$.

$\Rightarrow x+y+xy+1=0\iff (x+1)(y+1)=0$

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-1\\y=-1\end{matrix}\right.\) ( mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy nếu x ≠ -1 và y ≠ -1 thì x = y + xy ≠ -1

Xét tam giác $ABC$ không phải tam giác đều.

Không mất tính tổng quát, có thể giả sử \(\widehat{A}\) ≥ \(\widehat{B}\) ≥ \(\widehat{C}\)   

Vì tam giác ABC không phải là tam giác đều nên \(\widehat{A}\) > \(\widehat{C}\)

Giả sử \(\widehat{C}\) ≥ 60^o thì \(\widehat{A}\) + \(\widehat{B}\) + \(\widehat{C}\) > 180^o vô lý)

Do đó \(\widehat{C}\) < 60^o nên một tam giác không phải là tam giác đều thì có ít nhất một góc nhọn nhỏ hơn 60^o

\widehat{A} \ge \widehat{B} \ge \widehat{C}

Giả sử n lẻ, khi đó n có dạng 2k + 1 với k ∈ Z

suy ra n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2) + 1 lẻ (mâu thuẫn với giả thiết n² chẵn)

do đó n chẵn nên nếu n² chẵn thì n chẵn

ta có \(\dfrac{ax+by}{2}\) ≥ \(\dfrac{a+b}{2}\). \(\dfrac{x+y}{2}\)

<=> 2(ax + by) ≥ (a + b)(x + y)

<=> 2(ax + by) ≥ ax + ay + bx + by

<=> ax + by - ay - bx ≥ 0

<=> (a - b)(x - y) ≥ 0 (luôn đúng vì giả thiết a ≥ b và x ≥ y)

vậy nếu a ≥ b, x ≥ y thì \(\dfrac{ax+by}{2}\) ≥ \(\dfrac{a+b}{2}\). \(\dfrac{x+y}{2}\)

ta có 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy

<=> (x² - 4xy + 4y²) + 3(x² + 2x + 1) ≥ 0

<=> (x - 2y)² + 3(x +1)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi x,y

vậy với mọi x,y ta có 4x² + 4y² +6x + 3 ≥ 4xy

nếu n chia hết cho n thì n = 3k với k ∈ N

=> xét k = 2m thì n = 6m suy ra n(n+1) = 6m(6m + 1 ) chia hết cho 6

=> xét k = 2m + 1 thì n = 3 (2m + 1) = 6m + 3

suy ra n(n + 1) = (6m + 3)(6m + 4) = 3.(2m + 1).2(3m + 2) = 6.(2m + 1).(3m + 2) chia hết cho 6

vậy với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 3 thì n(n + 1) chia hết cho 6

Nếu $n$ lẻ thì $n$ có dạng $n=2k+1$ với $k\in \mathbb{N}$.

Do đó $n^3=(2k+1{)}^3=8k^3+12k^2+6k+1=2(k^3+6k^2+3k)+1$.

Suy ra $n^3$ lẻ.

Vậy với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n$ lẻ thì $n^3$ lẻ.