Từ bài toán, ta được hình ảnh như sau:
Tổng độ dài b+a chính là chiều cao của hình thang \(ABCD\), b chính là chiều cao hình tam giác \(CPD\), a chính là chiều cao hình tam giác \(ABP\).
Ta có:
Vì diện tích hình tam giác \(CPD=4\) mà tích của độ dài đáy với chiều cao tương ứng sẽ gấp đôi diện tích hình tam giác đó nên \(b\cdot\left(CD\right)=2\cdot2=4\) hay \(b=\dfrac{4}{CD}\) (1)
Tương tự, vì diện tích hình tam giác \(ABP=2\) nên \(a\cdot\left(AB\right)=4\cdot2=8\) hay \(a=\dfrac{8}{AB}\) (2)
Từ (1) và (2), ta được:
\(\left(a+b\right)\cdot\left(AB+CD\right)=2\left(2+3+4+5\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\cdot\left(AB+CD\right)=28\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{8}{AB}+\dfrac{4}{CD}\right)\left(AB+CD\right)=28\)
\(\Rightarrow8+8\cdot\dfrac{CD}{AB}+4\cdot\dfrac{AB}{CD}+4=28\)
\(\Rightarrow8\cdot\dfrac{CD}{AB}+4\cdot\dfrac{AB}{CD}=16\)
\(\Rightarrow2\cdot\dfrac{CD}{AB}+\dfrac{AB}{CD}=4\)
Đặt \(z=\dfrac{AB}{CD}\) thì \(2\cdot\dfrac{1}{z}+z=4\)
\(\Rightarrow2+z^2=4z\)
\(\Rightarrow z=\dfrac{4\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\left(1\right)\left(2\right)}}{2}\)
\(\Rightarrow z=2\pm\sqrt{2}\)
Mà AB > CD nên \(z=2+\sqrt{2}\) hay tỉ số \(\dfrac{AB}{CD}=2+\sqrt{2}\)
